专题46 直线的方程-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.docVIP

专题46直线的方程

必威体育精装版考纲

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

基础知识融会贯通

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

3．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

y－y0＝k(x－x0)

不含直线x＝x0

斜截式

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)

不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)

截距式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

平面直角坐标系内的直线都适用

重点难点突破

【题型一】直线的倾斜角与斜率

【典型例题】

已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【再练一题】

已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：kx﹣y﹣k+1＝0与线段AB相交，则实数k的取值范围是（）

A． B．

C． D．[﹣4，+∞）

思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．

【题型二】求直线的方程

【典型例题】

已知直线经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．

（Ⅰ）求交点P的坐标；

（Ⅱ）求直线的方程．

【再练一题】

平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）

（1）求BC边上的高所在直线的方程；

（2）求△ABC的面积．

思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

【题型三】直线方程的综合应用

命题点1与基本不等式相结合求最值问题

【典型例题】

已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．

（1）求证：直线l恒过定点；

（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；

（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

【再练一题】

设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P（x，y），则的最大值是．

命题点2由直线方程解决参数问题

【典型例题】

直线x﹣2y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣c＝0的距离为2，则c的值为（）

A．9 B．11或﹣9 C．﹣11 D．9或﹣11

【再练一题】

若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（）

A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．

思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．

(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

基础知识训练

1．【北省遵化市2018-2019学年高二上学期期中考试】直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（）

A．（5，2）B．（2，3）C．（﹣，3）D．（5，9）

2．【河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线的顶点，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为

A．B．C．D