专题48 圆的方程-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.docVIP

专题48圆的方程

必威体育精装版考纲

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

基础知识融会贯通

圆的定义与方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

方程

标准式

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)

圆心为(a，b)

半径为r

一般式

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

充要条件：D2＋E2－4F0

圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))

半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)

【知识拓展】

1．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．

(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．

(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．

2．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.

重点难点突破

【题型一】圆的方程

【典型例题】

一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（）

A． B．

C． D．

【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，

则圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，

则，解得，．

∴圆的标准方程为．

故选：D．

【再练一题】

方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0变形为：（x+2m）2+（y﹣1）2＝4m2+1﹣5m，

若其表示圆，则有4m2+1﹣5m＞0，

解可得：m或m＞1，

即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；

故选：C．

思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

【题型二】与圆有关的最值问题

【典型例题】

已知方程，则x2+y2的最小值是．

【解答】解；根据题意，方程，其几何意义为以点（﹣1，0）为圆心，半径r的圆，

设t，则t的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离，则有1t≤1，

即t，即t的最小值为，

则x2+y2的最小值是；

故答案为：

【再练一题】

在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝．

【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，

点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，

当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有1，

解可得：k＝2；

故答案为：2．

思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．

①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

【题型三】与圆有关的轨迹问题

【典型例题】

设P为椭圆C：1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（）

A．（x﹣2）2+y2＝28 B．（x+2）2+y2＝7

C．（x+2）2+y2＝28 D．（x﹣2）2+y2＝7

【解答】解：∵P为椭圆C：1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，

延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，

∴|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|PQ|＝|PF2|，

∴|PF1|+|PQ|＝|F1Q|＝2，

∴Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，

∴动点Q的轨迹方程为（x+2）2+y2＝28．

故选：C．

【再练一题】

设定点F（1，0），动圆D过点F且与直线x＝﹣1相切．则动圆圆心D的轨迹方程为（）

A．x2＝4y B．x2＝2y C．y2＝4x D．y2＝2x

【解答】解：因为动圆C过定点F（1，0），