2024—2025学年广东省深圳市南头中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年广东省深圳市南头中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.平面向量，若，则（）

A．6

B．5

C．

D．

(★)3.已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

(★★)4.椭圆与椭圆的（）

A．长轴长相等

B．短轴长相等

C．离心率相等

D．焦距相等

(★★)5.已知两点到直线的距离相等，则（）

A．3

B．

C．3或-6

D．3或

(★★)6.已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（）

A．8

B．4

C．

D．2

(★★)7.《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵.阳马和鳖臑的体积分别为，则下列等式正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.设函数，则下列结论正确的是（）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．的一个零点为

D．的最大值为1

(★★★)10.如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（）

A．EF与垂直

B．与平面

C．平面

D．EF与所成的角为

(★★★)11.已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（）

A．直线l过定点

B．|MN|的最小值为

C．的最小值为

D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则

三、填空题

(★★)12.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为_____________.

(★★)13.已知圆台上底面的周长为，下底面周长为，高为1，那么圆台外接球的体积为_____________.

(★★★)14.公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于A，B）作长轴（或直径）AB的一条垂线段，垂足为，则为常数．若此图形为圆，则____________；若，则此图形的离心率为____________．

四、解答题

(★★★)15.已知直线，其中为实数.

(1)当时，求直线之间的距离；

(2)当时，求过直线的交点，且平行于直线的直线方程.

(★★★)16.已知为坐标原点，点和直线，点是点A关于直线l的对称点，且点满足.

(1)求点的坐标及点的轨迹方程；

(2)若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围.

(★★)17.如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为的中点.

(1)求证:平面；

(2)求证:；

(3)求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★)18.已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为.

(1)求的标准方程；

(2)若，求点的坐标；

(3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值.

(★★★★)19.出租车几何或曼哈顿距离（）是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离.

(1)已知点，，求的值；

(2)记为点与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线，求；

(3)已知三维空间内定点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积.