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12.2生成树定义12.2.1设T是无向图G的生成子图，若T是树，则称T是G的生成树。从G中删去T的边后得到的图称为T的余树，记为T。T中的边称为T的树枝，T中的边称为T的弦（或余枝）。e5e8e6e1e2e7e4e3
定理12.2.1无向图G是连通图当且仅当G有生成树.证充分性显然，因为生成树本身是连通的。必要性设G是连通图。如果G中无回路，那么G本身就是生成树；如果G中存在回路C1，则去掉C1上的一条边，仍保持连通性；若还有回路C2，则再去掉C2上的一条边，直到无回路为止，最后得到一棵生成树。
推论1设G为连通图，V(G)=n,E(G)=m,则m≥n-1推论2设T为G的一棵生成树，则T的余树T有m-n+1条边。
定义12.2.2设T为连通图G的生成树，e为T的弦，称回路T∪{e}为G的(关于T的弦e的)基本回路，记为C(e)；集合C={C(ei)|ei为T的弦}称为G的(关于T的)基本回路系统。图G及其生成树Tabcdste4e2e3e1e5e6e7e8C(e1)abse4e1e5C(e2)abcde2e5e6e7C(e3)abcdte3e5e6e7e8
例12.2.2求图G的全部回路。解：利用G关于T的基本回路系统。记Ck=C(ek)且作映射Ck→(d1k,d2k,?,d8k)图Gabcdste4e2e3e1e5e6e7e8
其中C1C2C3为基本回路；C1⊕C2C2⊕C3C1⊕C3为G的回路，但非基本回路；C1⊕C2⊕C3为G的环路，但非回路，
C1abse4e1e5C2abcde2e5e6e7C3abcdte3e5e6e7e8abcdse4e2e1e6e7abcdste4e3e1e6e7e8cdte2e3e8C1⊕C2C1⊕C3C2⊕C3abse4e1e5cdte2e3e8C1⊕C2⊕C3
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