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试卷
试卷
上海市曹杨二中2022学年度第二学期
高一年级期中考试数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.已知点在角的终边上，则__________.
2.函数的最小正周期为____
3.若复数满足（其中i是虚数单位），则______.
4.已知，，则的单位向量是________.
5.已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
6若，则______.
7.已知，且，则______.
8.已知、均为单位向量，且，则______.
9.已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______.
10.若，则______.
11.设，若函数在区间上最小值为，则的取值范围是______.
12.已知是单位向量，向量满足.若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13.设是两个不平行向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）
A.和 B.和
C.和 D.和
14.设且，“z是纯虚数”是“”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件条件 D.即非充分又非必要条件
15.设.若对任意，都存在，使得，则可以（）
A. B. C. D.
16.在中，若，则角的大小为
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17设，.
（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；
（2）若，求函数在区间上的取值范围.
18.在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设.
（1）求灯柱的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米）
20.如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点.
（1）求的值；
（2）若为线段上一点，且，求实数的值；
（3）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.
21.已知，.设，并记.
（1）若，，求集合；
（2）若，试求的值，使得集合恰有两个元素；
（3）若集合恰有三个元素，且对于任意的都成立，其中为不大于7的正整数，求的所有可能值.
试卷
试卷
上海市曹杨二中2022学年度第二学期
高一年级期中考试数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.已知点在角的终边上，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义直接求解.
【详解】已知点在角的终边上，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2.函数的最小正周期为____
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦型函数的性质求最小正周期即可.
【详解】由余弦函数的性质知：最小正周期.
故答案为：
3.若复数满足（其中i是虚数单位），则______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知求得，再由共轭复数的概念求得．
【详解】由，得，
，则．
故答案为：．
4.已知，，则的单位向量是________.
【答案】
【解析】
【分析】写出的坐标，求出的模长，利用即可求出的单位向量.
【详解】
即
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查学生对模长和数量积的坐标表示，属于基础题.
5.已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
【答案】2
【解析】
【分析】求出两向量的数量积，根据数量投影的意义即可求得答案.
【详解】由题意向量，，得向量，
，
故在方向上的数量投影为，
故答案为：2
6.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】分子、分母同除以解方程即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
7.已知，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式结合同角的三角函数关系求得，再根据两角和的正切公式即可求得答案.
【详解】由可得，
而，故，故，
则，
故答案为：
8.已知、均为单位向量，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由已知、均为单位向量，且，
可得，即，
即，
故，由于，
故，
故答案：
9.已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域
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