2023年上海中学高一下期中数学试卷及答案.docxVIP

试卷

试卷

上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中

2023.04

一、填空题（每小题3分，共36分）

1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．

2.角的终边经过点，且，则______．

3.若，则______．

4.已知，则________________．

5.函数最小正周期是________

6.在△中，角、、对边分别为、、，其面积，则________

7.已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

8.若函数在上的最小值是，但最大值不是，则的取值范围是________.

9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案

10.定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且______．

11.设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______．

12.若不等式对任意都成立，则实数的最小值为______．

二、选择题（每小题4分，共16分）

13.将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）

A.，的最小值为 B.，的最小值为

C.，的最小值为 D.，的最小值为

14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角的面度数为，则（）

A. B. C. D.

15.将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（）．

A.9 B. C.3 D.11

16.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于

A. B. C. D.

三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）

17.函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式.

18.在中，角所对的边分别为，已知，.

（1）求的值；

（2）若，求外接圆的面积.

19.设为常数，函数（）．

（1）设，求函数单调区间及周期；

（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．

20.已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．

（1）用及表示和；

（2）求的最小值．

21.对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．

（1）求证：，“函数”；

（2）若函数是“函数”，求的取值范围；

（3）对于定义域为函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值

上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中

2023.04

一、填空题（每小题3分，共36分）

1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．

【答案】

【解析】

【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解.

【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，

则．①

由扇形面积公式，得．②

由①②得，，

∴．

∴扇形的圆心角为．

故答案为：

2.角的终边经过点，且，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

【详解】解：角的终边经过点，且，

，则，

故答案为．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3.若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用正余倍角公式，将转化成齐次式即可求出结果.

【详解】因为，又，所以.

故答案为：.

4.已知，则________________．

【答案】

【解析】

【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.

【详解】，

，

所以，

则.

故答案为：.

5.函数的最小正周期是________

【答案】

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于求出结果.

详解】函数，

函数的最小正周期为

故答案为：.

6.在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则________

【答案】

【解析】

【分析】根据面积公式得到,根据余弦定理得到,对等式进行整理,即可得到的值

【详解】由三角形面积公式可得,

由余弦定理可得

,

又,,,,即