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设闭区间 上有 个点 依次为 它们把 分成 个小区间 这些分点或这些闭子 区间构成对 的一个分割 记为 或 小区间 的长度为 并记 称为分割 的模 定义1 （分割） 设 是定义在 上的一个函数 对于 的一个分割 任取点 并作和式 定义2 （黎曼和） 称此和式为函数 在 上的一个积分和 也称黎曼和 设 是定义在 上的一个函数 是一个确定的实数 若对任给的正数 总存在某一正数 定积分概念 使得对 的任何分割 以及在其上任意选取的点集 只要 就有 则称函数 在区间 上可积或黎曼可积 数 称为 在 上的定积分或黎曼积分 记作 定义3 （黎曼积分） 若函数 在 上连续 且存在原函数 即 则 在 上可积 且 上式称为牛顿一莱布尼茨公式 它也常写成 定理9.1(牛顿-莱布尼茨公式） 牛顿-莱布尼茨公式 由拉格朗日中值定理和一致连续性定理证得 若函数 在 上可积 则 在 上必定有界 定理9.2 （必要条件） 根据定义反证法 设 为对 的任一分割 由 在 上有界 它在每个 上存在上、下确界 作和
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