2023年上海实验学校高二下期中数学试卷及答案.docxVIP

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上海实验学校高二期中考试数学试卷

2023.04

一.填空题（每题4分，共40分）

1.过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________.

2.若，求圆心坐标为___________.

3.椭圆的焦距是______.

4.双曲线两条渐近线夹角为________．

5.已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.

6.若原点到直线：的距离为4，则的值是______.

7.已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得弦长为__

8.设是椭圆两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________．

9.已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.

10.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.

二.选择题（每题4分，共16分）

11.“”是“直线与直线相互垂直”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（）

A. B.

C. D.

13.已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为（）

A. B. C. D.

14.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，延长交椭圆于点，若△为等腰三角形，则椭圆的离心率（）

A. B. C. D.

三.解答题（本大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）

15.设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值.

16.如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为r的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设Q为圆心C与P连线与路面的交点．

（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？

（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段上，求的最大值．

17.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.

(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;

(Ⅱ)若直线斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.

18.设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．

（1）求椭圆与双曲线的方程；

（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；

（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

四.附加题（共20分）

19.如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为.

（1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程；

（2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过定点；

（3）求四边形面积的取值范围.

20.如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.

（1）求双曲线的方程；

（2）当时，求的取值范围；

（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.

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上海实验学校高二期中考试数学试卷

2023.04

一.填空题（每题4分，共40分）

1.过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.

【详解】在所求直线上任取一点,则所求直线的方向向量为,

再根据直线的方向向量与法向量垂直可得,

,

即.

故答案为:.

【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.

2.若，求圆心坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得出答案.

【详解】解：由，可得圆的标准方程为，

所以圆心坐标为.

故答案为：.

3.椭圆的焦距是______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据椭圆中，，的数量关系求解．

【详解】解：椭圆的焦距是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题．

4.双曲线的两条渐近线夹角为________．

【答案】

【解析】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角．

【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，

设两条渐近线的夹角为锐角，

则，所以夹角为