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第六章第二节等差数列

课标

解读

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有

关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数的关系.

增分策略

强基础

知识梳理

1.等差数列的概念

(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差

都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,定义的表达式为a,-a,=d

(n∈N*,n≥2)或a+1-a₁=d(n∈N*).

(2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且

有.2A=a+b.

微点拨1.等差数列中,从第2项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中

项,即an+i+am-₁=2a,(n∈N*,n≥2).

证明一个数列是等差数列的“等差中项法”

2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.

2.等差数列的有关公式

(1)等差数列的通项公式:a,=a₁+(n-1)d(n∈N*).

(2)等差数列前π项和公式

·

微思考在等差数列{a,}中,通项a,是关于n的一次函数吗?前n项和S,是关于

n的二次函数吗?

提示a,不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{a,}

中,a,=kn+b(k,b∈R),当k=0即数列为常数列时,a,不是关于n的一次函数;同

理S不一定是关于n的二次函数,当数列为常数列时,Sr,=bn,不是二次函数.

3.等差数列的常用性质

(1)等差数列的通项公式的推广:a,=a+(n-m)d(n,m∈N*).

(2)若数列{a,}为等差数列,且m+n=p+g,则am+a₁=a,+a₄(m,n,p,g∈N*)

特别地,若m+n=2t,则am+a₁=2a,(m,n,t∈N*).

(3)若数列{a,}是等差数列,公差为d,前n项和为S,则

a₂A₄+tmQx+2m;…(k;m∈N^)是公差为md的等差数列.

数列S,,S2m-S,,S3m-S₂m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m²d.

(4)若数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则也是等差数列,其首项

与数列{an}的首项相同,公差是数列{an}的公差白

(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n,则S偶

0若等差数列(aj的项数为奇数2m1.0

(7)若数列(a₀),[bn}均为等差数列且其前n项和分别为SmT,则

常用结论

1.数列{a,}为等差数列的充要条件是a,,=kn+b(k,b∈R).

2.若数列{a,}的前n项和为S,则“数列{a,}为等差数列”的充要条件是

“S,=an²+bn(a,b∈R)”.

3.在等差数列{a,}中,若a₁0,d0,则S,存在最大值;若a₁0,d0,则S,存在最

小值.

4.在等差数列{a,}中,若d0,则数列{a,,}为递增数列;若d0,则数列{a,}为递

减数列;若d=0,则数列{a,}为常数列.

对点演练

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)若{a,}为等差数列,则{la,l}一定不是等差数列.(×)

(2)在等差数列{a,}中,若m+n=p,则am+a₁=ap(×)

(3)在等差数列{a₁}中,若m+n+p=3t,则am+a₁+ap=3a(√)

(4)若无穷等差数列{a,}的公差d0,则其前n项和S,不存在最大值.(√)

2.等差数列{a₁}的前n项和记为S,,若a₂+a₂023=6,则S2o₂4=()

A.3033B.4044

C.6072D.8088

答案C

解析由等差数列{a,}知,a₂+a₂o₂3=a₁+a₂024=6,

3.记S,为等差数列{a,}的前n项和.若2S₃=3S,+6,则公差d=

答案2

解析设等差数列的公差为d.

由题意得2(3a₁+3d)=3(2a₁+d)+6,即3d=6,解得d=2.

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考点一等差数列基本量的运算

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例1.(2023全国甲,文5)记S,为等差数列{a,}的前n项和.若a₂+a₆=10,a₄Qg=45,

则S₅=()

A.25B.22C.20D.15

(2)(多选)已知等差数列{a,}的前n项和为S,,公差d=1.若a₁+3a₅=S₇,则以下

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