适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第二节利用导数研究函数的单调性课件.pptxVIP

第四章第二节利用导数研究函数的单调性

内容索引

增素能精准突破

强基础增分策略

课标

解读

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.

3.能够利用导数解决与函数单调性有关的问题

增分策略

强基础

条件

导数的符号

函数的单调性

函数f(x)在区

间(a,b)内可导

不等式中不带“=”

f(x)0

f(x)在(a,b)内单调递增

不等式中不带“=”

f(x)0

f(x)在(a,b)内单调递减

f(x)=0

f(x)在(a,b)内是常数函数

知识梳理

1.函数的单调性与其导数的关系

微思考在区间(a,b)内，“f(x)0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增”的充要条件

吗?

提示不是，应为充分不必要条件.当f(x)0时，f(x)在区间(a,b)内一定单调递

增，反之不一定，如果有个别点使f(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x³在定义域(-o,+常)上单调递增，但由

f(x)=3x²,知f(O)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f(x)0.

微点拨利用导数求函数单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求f(x)的导数f(x);

(3)解不等式f(x)0得函数的单调递增区间；解不等式f(x)0得函数的单调

递减区间.

2.导数的绝对值与函数值变化的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这

个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之，函数的图象就比较“平缓”.

常用结论

1.若f(x)在区间I上单调递增(减),则f(x)≥0(f(x)≤0)在区间I上恒成立.

2.若f(x)在区间I上存在单调递增(减)区间，则f(x)0(f(x)0)在区间I上有解.

对点演练

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f(x)≤0,且f(x)=0的根有有限个，则f(x)在区

间(a,b)内单调递减.(√)

(2)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f(x)在(a,b)内各点处的切线的倾斜

角都是锐角.(×)

(3)函数f(x)=sinx-x在R上单调递减.(√)

(4)函数f(x)在区间(a,b)内变化得越快，其导数就越大.(×)

2.(2023新高考IⅡ,6)已知函数f(x)=ae²-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最

小值为()

A.e²B.e

C.e-1D.e-2

答案C

解析由题意可知在区间(1,2)内恒成立，即在区间(1,2)内

恒成立.设g(x)=xe,则g(x)=(x+1)e⁴0在区间(1,2)内恒成立，所以函数

8u)=xe*在区间(1,2)内单调递增，所以g(x)g(1)=e,则即a≥e¹.故

4

选C.

的单调递减区间为

答案(0,1)和(1,e)

解析由得x0且x≠1,所以函数f(x)的定义域为{x|x0且x≠1}.

.令f(x)0,即即lnx1,得Oxe且x≠1,故函

数的单调递减区间是(0,1)和(1,e)

增素能精准突破

考点一「研究不含参函数的单调性

典例突破

例1.(1)函数f(x)=2x²-lnx的单调递减区间是()

(2)函数f(x)=2cosx+sin2x的一个单调递增区间是()

D.

答案(1)C(2)B

解析(1)因为fU)=2、²-Inx,所以函数的定义域为

由f(x)0,解得(,所以函数f(x)的单调递减区间是,故选C.

(2)f(x)=-2sinx+2cos2x=2(1-2sin²x)-2sinx=-2(2sin²x+sinx-1)=-2(sinx+1)

(2sinx-1),由-1≤sinx≤1,可得sinx+1≥0,当.时，,此时f(x)0,f(x)单调递增，故选B.

易错点1:忽视函数定义域的限制致误

易错点2:函数有多个单调区间时用“U”连接致误

易错点3:函数在区间端点无定义时单调

区间写成闭区间致误

易错警示

三个易错点

对点训练1若曲：在点(1,f(1))处的切线过点(-1,0),则函数f(x)的

单调递减区间为()

A.(-o,0)B.(0,+输)和(-1,0)

C.(-o,-1)U(-1,0