适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件.pptxVIP

第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题

高考解答题专项一

数学抽象：研究不等式恒成立问题时，需要将不等式与函数联系起来，抽象出函数模型，利用导数解决问题

逻辑推理：解决不等式恒成立问题时，需要通过导数的应用，推得函数的单调性，以及通过各种转化来解决问题，其中渗透了逻辑推理

数学建模：利用导数解决不等式的恒成立问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数，建立数学模型，通过函数模型的单调性、极值或最值等解决问题

分离参数法解决不等式恒成立问题

最值法解决不等式恒成立问题

同构法解决不等式恒成立问题

端点效应法解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题不等式中的“任存”问题

考点索引

方法要语

核心素养

考向1.“分离参数法”解决不等式恒成立问题

例1.(2023山东烟台二模)已知函

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当x1时。fx)+k(1+Inx)≤0,求实数k的取值范围.

解(1)函数，的定义域为R,

●

令f(x)0,得Ox2,则f(x)在(0,2)内为增函数；

令f(x)0,得x0或x2,则f(x)在(-o,0)和(2,+o)上为减函数.

综上，f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-o,0)和(2,+o).

设h(x)=-x-2xlnx+x²+x²lnx,则h(x)=(x-1)(3+2lnx).

当x1时，恒有3+2lnx0,即h(x)0

所以h(x)在(1,+o)上单调递增，

(2)(方法1)当x1时，1+lnx0,

所以

设

所以h(x)h(1)=0恒成立，即g(x)0,

所以g(x)在(1,+o)上单调递增.

故当x1时

所以k的取值范围为

(方法2)由x1可得

:x1,:可得

恒成立.

·

∴h(x)在(1,+o)上单调递增，得h(x)h(1)=1,∴x1+1nx1.

∴g(x)g(1+1nx),因

设.则

当x1时，g(x)0,g(x)在(1,+o)上单调递减.现证x-lnx1在(1,+o)上恒成立.

,∴-ek≥1,可得

∴k的取值范围为

·

?

方法点拨“分离参数法”解决不等式恒成立问题

“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方

法，其基本过程如下：

(1)已知含参数λ的不等式f(λx)≥0恒成立；

(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ与变量x分离，可以将λ单独分离到

不等式一边，也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边；

(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的

形式而确定，可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等等；

(4)得出结论.若h(x)的最大值为M,则g(A)≥M;若h(x)不存在最大值，其值域

为(m,M)时，g(λ)≥M.

(1)因为直线的斜率为1且与函数f(x)的图象相切，

所以由f(x)=1,即,解得x=1,而f(1)=0,所以切点为(1,0),故直线方程为

x-y-1=0.

对点训练1已知函数f(x)=-Inx+2x-2.

(1)求与函数f(x)的图象相切且斜率为1的直线方程；

(2)若g(x)=f(x)+ax+2,当x∈[1,e]时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

(2)g(x)=-1nx+(2+a)x≥0在区间[1,e]上恒成立，即在区间[1,e]上恒成

立.设,则等价于当x∈[1,e]时，a+2≥h(x)max

因为,令h(x)=0得x=e,所以，在区间(1,e)内，h(x)0,h(x)单调递增，

因此即解得故实数a的取值范围是

考向2.“最值法”解决不等式恒成立问题

例2.已知定义在(0,+o)上的函

(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)≤3在区间(0,2)上恒成立，求实数a的取值范围.

解(1)f(x)=xe⁴-ax=x(e*-a),当a=e时f(x)=x(e-e).

当x∈(0,1)时f(x)0,f(x)单调递减；当x∈(1,+o)时，f(x)0,f(x)单调递增.所以

函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+o).

(2)函数f(x)的导数为f(x)=x(e⁴-a).

①若a≤1,则在区间[0,2]上，f(x)0,f(x)单调递增，

因此f(x)max=f(2)=e²-2a3,不符合题意；

②若1ae²,令f(x)=0,得x=Ina,当x∈(0,Ina)时f(