适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量高考解答题专项四第1课时证明平行垂直与求空间距离课件.pptxVIP

第1课时证明平行、垂直与求空间距离

高考解答题专项四

立体几何中的综合问题

考情分析

从近两年的高考试题来看，立体几何是历年高考的重点，约占整个试卷的

15%,通常以一大两小的模式命题，以中、低档难度为主.简单几何体的表面

积与体积，点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容，前者多以客观题的形式命题，后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.

必备知识

1.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a,则对于直线l

上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得OP=Aa.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l⊥a平面，取直线l的方向向量a,称向量a为平面a的法

向量.

(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

位置关系

向量表示

直线l,l₂的方向向量分别为

U₁,U₂

u₁//u₂⇔3λ∈R,使得u₁=λu₂

l₁⊥l₂

u₁⊥u₂⇔u₁u₂=0

直线l的方向向量为u,平面a

的法向量为n

l//a

(l≠a)

u⊥n⇔u·n=0

J」a

u//n⇔3λ∈R,使得u=λn

ny,n₂分别是平面a,β的法向

旦

里

a//β

n₁//n₂⇔3λ∈R,使得n₁=λn₂

α⊥β

n₁⊥n₂⇔n₁·n₂=0

2.空间位置关系的向量表示

3.利用空间向量求角

(1)异面直线所成的角

两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求

得.也就是说，若异面直线l₁,I₂所成的角为0,其方向向量分别是u,v,

(2)直线与平面所成的角

直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.

如图，直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面a所成的角为0,直线AB的

方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin

(3)若平面a,β的法向量分别是n₁和n₂,则平面a与平面β的夹角即为向量n,

和n₂的夹角或其补角.设平面a与平面β的夹角为0,则cosθ=|cosn₁,n₂1

4.利用空间向量求距离

(1)两点间的距离

设P₁(xi,yi,zi),P₂(x₂,yz,z₂)是空间中任意两点，则P₁P2=OP₂-OP₁=

(xz-xi,yz-y,zz-zi).所以

(2)点到平面的距离

已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平

面a的垂线l,交平面a于点Q,则n是直线的方向向量，且点P到平面a的距离

就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此

证明平行问题

证明垂直问题L空间距离问题

空间向量法

方法要语

考点索引

核心素养

考点一「证明平行、垂直

典例突破

例1.(2023全国乙，理19)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=2,

BC=2√2,PB=PC=√6,BP,AP,BC

上，BF⊥AO.

(1)证明：EF//平面ADO;

(2)证明：平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的大小.

的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC

(1)证明设AF=λAC(O≤λ≤1),

则BF-BA=A(BC-BA),

所以BF=(1-A)BA+ABC.

因为O为BC的中点，则

因为AB⊥BC,则BA·BC=0,

因为AB=2,BC=2√2,BF⊥AO,

3

为PB,BC的中点，所以DO//PC,则EF//DO,因为EF±平面ADO,DOC平面

ADO,所以EF//平面ADO.

故F为AC的中点.又因为E为PA的中点，则EF//PC,又D,O分别

解得

因为∠ABC=90°,

所以AO=√AB2+BO2=√4+2=√6,

所以AO²+DO²=AD²,故AO⊥DO.

因为EF//DO,则AO⊥EF,

又因为AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EFC平面BEF,所以AO⊥平面BEF.

因为AOC平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.

(2)证明因为D,O分别为PB,BC的中点，

因为O,F分别为BC,AC的中点，连接OF,

所以OF//AB,且

又因为AB⊥BC,所以OF⊥BC,

所以二面角P-BC-A的平面角为∠POF,

设∠POF=0(0⁰θ180).

以点O为坐标原点，OF,OC所在直线分别为x轴、y轴，过点O且垂直于平面

ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

(3)解连接PO,因为PB