高中数学：高考试题中数形结合思想的应用.doc

高考试题中数形结合思想的应用

湖南省郴州市第三中学代晓忠

关键词：数学结合思想高考应用

数学以现实世界的数量关系空间形式为其研究的对象，“数”与“形”这两个基本概念，是数学的两块基石，华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合的实质就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形，位置关系结合起来，通过数与形之间的对应和转化来寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而解决问题。

纵观历年来全国各地数学高考试卷，对数形结合思想的考查均有所体现，一方面是通过解析几何或平面向量考查对一些几何问题如何用代数方法来处理；另一方面，一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析帮助解决，在数形结合思想方法的使用过程中，由形到数的转化，往往比较明显，由数到形的转化需要转化意识，高考题往往偏重由数到形的转化。在高考解题中，巧妙地运用形结合思想，不仅直观容易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解过程，起到了事半功倍的效果。

数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系讨论。

数形结合思想方法在高中数学解题中有广泛应用，下面以2015年湖南省理科高考考题为例，对数形结合思想方法的应用粗略的探讨。

数形结合思想在“解析几何”问题中的应用

解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，对解析几何相关问题的考查，大多重点考数学形结合思想方法。

例1（2022年全国卷T14）写出与圆和都相切的一条直线的方程__________.

解析：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；

又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，

直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，

从而该切线的方程为填一条即可

数形结合思想在“解多面体”中应用

立体几何中有关线面关系的证明，线面夹角、面面夹角的求解，垂直关系的证明等等，这些问题经常以大题的形式出现在高考试卷中。对于一些复杂几何问题，我们不妨用数形结合思想把几何问题转化为代数问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

例2（2022年全国卷T19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为

求A到平面的距离;

设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.

解析：设A到平面的距离为d，

因为直三棱柱的体积为4，即可得，

故，

又，

解得，所以A到平面的距离为；

连接，因为直三棱柱中，，

故为正方形，即，

又平面平面，平面平面，平面，

故平面，所以，

又因为，平面，且，

故平面，则，

所以三条直线两两垂直，

故如图可以以B为原点建立空间直角坐标系，

设，，则，

由条件可得，解得，

则，，，，的中点，

所以，，

设平面ABD的一个法向量为，

，取，

同理可求得平面BCD的一个法向量为

所以，，

所以二面角的正弦值为

三、数形结合思想在“零点的个数”问题中的应用

在解决一些含有字母的方程时，特别一些含参数的方程问题，若直接对方程讨论，很容易忽略一些特殊的情况，此时运用数形结合思想把求方程解或函数零点的问题看作两个函数图像的交点的问题，画出图像则可以很直观的给出作答。

例3（2015年湖南省理科T15）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是

解析：求的零点，相当于解方程，可转化为求函数和的交点，画出它们的图像如下,很快可以得出的取值范围是

数形结合思想在“三角函数”中的应用

例4（2015北京高考理科T15）已知函数

求的最小正周期；

求函数在上的最小值。

分析：该题考查对三角函数的变形与计算，将三角函数变形后得到熟悉的函数，第（2）小题结合图像及单调性得到相应的结果，该题把数形结合与函数的单调性综合到一起，全面分析得到正确的答案。

由，第（1）易知其周期为；（2），于是，根据正弦函数可知的最小值为，因此的最小值为。

总之，数开结合思想方法是数学基础知识的重要组成部分，是数学解题中要求掌握的重点思想方法之一。高考题目千变万化，对于有些问题，若能抓住本质，利用数形结合的思想方法，则可直观、快速地求解。想要加深对数形结合思想的理解，只有在解题过程中大胆尝试，不断思考，勤于总结，才能逐步增强对数形结合思想的感悟，从而提高解题能力。