高中数学：浅谈类比推理在解决三角函数图象问题中的应用.doc

浅谈类比推理在解决三角函数图象问题中的应用

类比推理在高中数学教学中，能够对抽象的数学难题进行类比分析，通过逻辑分析和推理使学生深入认识到数学问题的本质，并在自主分析和讨论下，得出正确的数学答案.该教学方法的实践应用，关键在于培养学生自主讨论和分析，通过逻辑推理最后得出准确的分析结果,类比有助于高三学生更好的理解和掌握三角函数的图像变换，从而能够灵活应用所学知识来解决具体问题.笔者研究近几年的高考试题,发现类比推理的考查较为突出,是高考的一个新亮点,本文仅对类比推理在解决三角函数图象问题中的应用作相关论述.

一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sinx图象的类比

例1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)是偶函数，将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,6)个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．已知y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω＝________，若y＝g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，则g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))上的最大值为________．

分析由函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))是偶函数，类比y＝cosx图象，∴函数f(x)＝Acosωx，不看平移，横坐标伸长到原来的2倍f(x)→y＝Acosx,y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π,T＝4π＝,∴ω＝1，g(x)＝Acos（eq\f(1,2)x＋φ）,易知A＝2，y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位，横坐标伸长到原来的2倍，∴g(x)＝2cos（eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)），

g(x)的图象第一个点横坐标为-，T＝4π，由y＝g(x)的图象可知，当x＝0时，g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))上的最大值为eq\r(3).

二y＝Asin(ωx＋φ)的取值与y＝sinx在[0，]对应值的类比

x＝eq\f(π,6)，时，将[0，]三等分，y＝sinx在[0，]对应值分别为eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)．

例2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则f(－eq\f(π,3))＝________．

分析延长函数f(x)的图象，－eq\f(π,3)，－，为[－，－]三等分点，

－eq\f(π,3)对应值的类比x＝，∴f(－eq\f(π,3))=eq\r(2)（－eq\f(\r(3),2)）=－eq\f(\r(6),2)．

三y＝Asin(ωx＋φ)和Acos（ωx＋φ)的交点与y＝sinx和y＝cosx的交点的类比

例3已知函数f(x)＝eq\r(2)sinωx和g(x)＝eq\r(2)cosωx(ω＞0)图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象()

A．向左平移1个单位 B．向左平移eq\f(π,2)个单位

C．向右平移1个单位 D．向右平移eq\f(π,2)个单位

分析类比y＝sinx和y＝cosx的图象在同一坐标系的交点的分布，取A（，），B（，－），C（，），如图；

函数f(x)和g(x)连续三个交点可作为一个等腰直角三角形的顶点，在直角三角形ABD中，BD＝AD故＝eq\r(2)××2?T＝4，类比y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝cosx的图象，故选A

评注通过运用类比的思想方法，解决许多三角函数图象题型，可以不必去求A，ω，φ的值，或者简化求A，ω，φ的值，可以节省运算时间，提高运算效率，提升学生的学习兴趣.

此外，y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx图象的类比完全可以推广到一般的函数中去，通过运用类比的方法让学生知道，对于一般的函数y=f(x)的图象也可以用上述方法来解决图象之间的变化，这样讲解有助于学生更好的理解和掌握一般函数的图像变换，从而能够灵活应用所学知识来解决具体问题.在日常教学中，数学教师要形成意识自觉地将类比推理的思想渗透到整个教学中.研究类比的方法解决诸多问题关的问题时,我们只有牢牢把握住二者的相似之处，回归教材,深入研究模型的形成过程,才是解决问题的关键.

杨志