专题08相似三角形的存在性 （含2024年一模）（原卷版）-备战2024年中考数学考试易错题（上海专用）.docxVIP

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专题08相似三角形的存在性

相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：

第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；

要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）

①若有已知的相等角，则其顶点对应；

②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。

第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：

①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；

②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。

易错点一：二次函数中相似三角形的存在性

1．（2024·上海普陀·统考一模）综合实践

九年级第一学期教材第2页

结合教材图形给出新定义

对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

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图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．

如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．

(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）

(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

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①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；

②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．

2．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．

(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；

(2)点在这个黄金抛物线上．

①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．

②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是，；

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(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P在x轴上方的抛物线上，且，求点P的坐标；

(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．

4．（2024上·上海静安·九年级统考期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．

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(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；

(2)如果射线平分，交轴于点，

①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标；

②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标．

5．（2024上·上海崇明·九年级统考期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．

??????????????????????????????????备用图

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F．

①如果，求的值；

②如果与相似，求m的值．

易错点二：几何图形中相似三角形的存在性

1．（2022·上海宝山·统考二模）如图，在半径为的圆中，、都是圆的半径，且，点是劣弧上的一个动点点不与点、重合，延长交射线于点．

(1)当点为线段中点时，求的大小；

(2)如果设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；

(3)当时，点在线段上，且，点是射线上一点，射线与射线交于点，如果以点、、为顶点的三角形与相似，求的值．

2．（2023·上海闵行·统考一模）如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，．

(1)求证：；

(2)延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值；

(3)如图2，联结，若平分，，求线段的长．

3．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，已知线段AB＝4，以AB为直径作半圆，过圆心O作AB的垂线OQ交半圆于点E，P是上的点，连结AP并延长交OQ于点C，连结PB交OQ于点F．

(1)我们知道∠APB＝90°，证明方法如下：

联结OP，∵OA＝OP，∴∠PA