专题09 直线与圆的位置关系（4大易错点分析）（解析版）-备战2024年中考数学考试易错题（浙江专用）.docxVIP

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专题09直线与圆的位置关系

易错点一：直线与圆的位置关系

直线与圆的三种位置关系及对应判定方法：

易错提醒：①直线与圆的位置关系的判定方法是相互的，即可以逆用；

②公式中d表示圆心到直线的距离，是垂线段的长度，不是任意两点间的距离；

例1．（2024?镇海区校级模拟）一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是（）

A．相切 B．相交

C．相离 D．以上都不对

【分析】先确定出d和r的大小，然后根据d和r的大小关系进行判断即可．

【解答】解：∵由题意可知d＝4，r＝3，

∴d＞r．

∴直线与圆相离．

故选：C．

例2．已知⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O公共点的个数为（）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．

【解答】解：∵⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4，

∴d＝4＜r＝5，

∴直线a与圆相交，

∴直线a与⊙O公共点的个数为2个，

故选：B．

例3．（2024?西湖区校级开学）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是相切．

【分析】作OE⊥AD于E，则OE＝AB＝3，由题意得出半径＝3，由d＝r，即可得出结论．

【解答】解：如图所示：作OE⊥AD于E.

则OE＝AB＝3，

∵BC＝6，

∴OB＝BC＝3，

∴OE＝OB，即圆心到直线的距离＝半径，

∴直线AD与⊙O相切．

故答案为：相切．

变式1．（2023秋?江北区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若⊙C与直线AB相交，则⊙C半径r的值或取值范围为（）

A．0＜r＜2.4 B．r＝2.4 C．r＞2.4 D．2.4＜r＜4

【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，

∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝5，

∴CD＝＝2.4，

∵直线AB与⊙C相交，则r的取值范围是r＞2.4．

故选：C．

变式2．（2023?滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为2cm，得出d＝r，进而l与⊙O的位置关系．

【解答】解：∵⊙O的直径为4，

∴⊙O的半径为2，

∵点O到直线l的距离为2，

∴d＝r

∴l与⊙O的位置关系相切．

故选：B．

变式3．（2023?鄞州区校级三模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD只有一个公共点，那么线段AO的长是或．

【分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：在矩形ABCD中，

∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10，

如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，

则OE⊥AD，

∴OE∥CD，

∴△AOE∽△ACD，

∴，

∴＝，

∴AO＝，

如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，

则OF⊥BC，

∴OF∥AB，

∴△COF∽△CAB，

∴＝，

∴＝，

∴OC＝，

∴AO＝，

∴如果圆O与矩形ABCD只有一个公共点，那么线段AO长的是或，

故答案为：或．

1．（2021秋?遵化市期末）设⊙O的半径是6cm，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点，则（）

A．d＞6cm B．d＝6cm C．0≤d＜6cm D．0≤d≤6cm

【分析】利用直线与圆的位置关系判断方法，相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，进而得出答案．

【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点，

∴直线l与⊙O相切或相交，

∴0≤d≤6cm．

故选：D．

2．（2023秋?台州期中）已知⊙O的半径是5cm，若圆心O到直线AB的距离是8cm，则直线AB与⊙O的位置关系是相离．

【分析】根据圆心O到直线AB的距离与⊙O的半径的大小关系可得直线AB与⊙O的位置关系．

【解答】解：∵圆心O到直线AB的距离为8cm＞⊙O的半径为5cm，

∴直