专题10 锐角三角函数及其应用（4大易错点分析）（解析版）-备战2024年中考数学考试易错题（浙江专用）.docxVIP

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专题10锐角三角函数及其应用

易错点一：锐角三角函数的定义

锐角三角函数的定义：

AC

A

C

B

a

b

c

则：∠A正弦：；

∠A余弦：；

∠A正切：；

易错提醒：牢记三种锐角三角函数的基本定义，计算中遇到分数时谨记除以一个分数等于乘以它的倒数；

例1．（2024?阿克苏地区模拟）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（）

A． B． C． D．

【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：在△ABC中，若∠C＝Rt∠，sinA＝，cosB＝，

故选：A．

例2．（2023秋?湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝29°，AB＝8，则BC为（）

A． B．8sin29° C． D．8cos29°

【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝29°，AB＝8，

∴sinA＝＝，

∴BC＝8sin29°．

故选：B．

例3．（2023?霞山区三模）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．

【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．

【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，

则AC＝4，OC＝2，

在Rt△ACO中，AO＝，

∴sin∠OAB＝．

故答案为：．

变式1．（2024?顺义区）在△ABC中，∠C＝90°，则cosA等于（）

A． B． C． D．

【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则cosA＝．

故选：A．

变式2．（2023秋?南浔区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则tanA的值为（）

A． B． C． D．

【分析】先作出图形，结合图形，根据锐角的正切函数定义直接作答即可．

【解答】解：如图所示：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，

根据正切函数定义可得，

故选：B．

变式3．（2023秋?成都期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则sinB＝（）

A． B．3 C． D．

【分析】设AC＝x，则BC＝3AC＝3x，根据勾股定理求出AB＝＝x，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．

【解答】解：设AC＝x，则BC＝3AC＝3x，

由勾股定理得：AB＝＝＝x，

所以sinB＝＝＝．

故选：C．

1．（2023?淳安县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（）

A． B． C． D．

【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，

∴sinA＝＝，

故选：C．

2．（2023?金华模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（）

A．8 B．9 C．10 D．7.5

【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．

【解答】解：∵sinA＝＝，

设BC＝4x，AB＝5x，

∴AC＝3x，

∴3x＝6，

解得x＝2，

∴AB＝10．

故选：C．

3．（2023秋?北仑区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos（∠A﹣∠B）＝．

【分析】设CD＝x，根据勾股定理列方程，求出x的值，再得出AD＝BD＝2﹣x，再根据锐角三角函数的定义求出cos（∠A﹣∠B）即可．

【解答】解：过A作∠BAD＝∠B，交BC于点D，

设CD＝x，

∵BC＝2，

∴BD＝AD＝2﹣x，

根据勾股定理，AC2+CD2＝AD2，即12+x2＝（2﹣x）2，

解得x＝，

∴AD＝2﹣＝，

cos（∠A﹣∠B）＝cos∠CAD＝＝＝，

故答案为：．

易错点二：特殊角的三角函数值及角的转化

一、特殊角的三角函数值表

α

sinα

cosα

tanα

30°

45°

60°

二、锐角三角函数的函数关系

当∠A＋∠B=90°时，有以下两种关系：

.同角三角函数的关系：

；

互余两角的三角函数的关系：

易错提醒：记忆特殊角的三角函数值时，先把数值记住，再记正弦值、正切值都是随角度的增大而增大，余弦值是随着角度的增大而减小的；

例1．（2023秋?阳谷县期末）已知∠A为锐角，cosA＝，则tanA的值为（）

A． B．2 C． D．

【分析】由锐角的余弦定义得到cosA＝＝，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC＝＝2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2．

【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，