专题09 二次函数中四边形的存在性 （解析版）-备战2024年中考数学考试易错题（上海专用）.docxVIP

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专题09二次函数中四边形的存在性

易错点一：平行四边形的存在性

解题策略：

1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算

（适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴）

2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等

（适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图）

3.平移坐标法

利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。

（适用于：直接写出答案的题）

1．（2023·上海黄浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B．

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标；

(3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长．

【答案】(1)

(2)点P的坐标是

(3)

【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；

（2）先求出抛物线的对称轴是直线，由点P是的外接圆的圆心得到点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是．设点P坐标为，由，求出，即可得到点P的坐标；

（3）先说明点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，解得（负值已舍），得到点M坐标是，点N坐标是，利用两点间距离公式即可得到线段的长．

【详解】（1）解：把代入得，

∴点B坐标是，

把代入，得，

∴点A坐标是，

将点A、B坐标代入，得，

解得．

∴抛物线的表达式是．

（2）∵，

∴抛物线的对称轴是直线，

∵点P是的外接圆的圆心．

∴点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．

∴点P横坐标是．

设点P坐标为，

∵，

∴，

解得，

∴．点P的坐标是．

（3）∵点O是中点，即O是平行四边形对角线交点，

又∵四边形是平行四边形，

∴点，N关于原点对称．

设点M的横坐标为m（），

则点M坐标是，点N坐标是，

把点坐标代入，

得，

解得（负值已舍），

当时，，

∴点M坐标是，点N坐标是，

∴．

【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．

2．（2022·上海·上外附中校考模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）．

(1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式．

(2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）．

(3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F．

①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标．

②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值．

【答案】(1)

(2)

(3)①；②

【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据抛物线经过点，得到，进而把抛物线解析式化为顶点式得到抛物线对称轴是直线，再根据抛物线的对称性即可求出点D的坐标为；

（3）①根据题意得到，则，再由是的垂直平分线，得到，即可得到，求出；②根据平行四边形的性质得到，则点E的坐标为或，再由点E在抛物线上进行求解即可．

【详解】（1）解：由题意，得A的坐标为．

∵抛物线经过点，

∴，

解得，

∴该抛物线的对应的函数关系式为：．

（2）解：∵抛物线经过点，

∴，

∴．

∴抛物线解析式为，

∴抛物线对称轴是直线，

∵轴，，即

∴点D的坐标为；

（3）解：①当，是等腰直角三角形时，．

∴，

∵是的垂直平分线，

∴，

∴

∴．

∴．

∴点M的坐标为；

②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

∴，

∴点E的坐标为或，

∵点E在抛物线上，

∴或

∴（负值舍去）．

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

易错点二：梯形的存在性

解梯形的存在性问题一般分三步：

第一步分类，第二步画图，第三步计算．

一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．

因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．

3．（2022·上海·上海市进才中学