积分型余项的泰勒公式.docxVIP

Th : f ( x ) ? C ( n ?1) , x ? (a , b), 则有f ( x ) ? f ( x ( a ,b ) 0 1 x ) ? f ( x 0 )( x ? x 0 ) ? ... ? f ( n ) ( x ) 0 n ! ( x ? x ) n 0 r ( x ? x ) n 0 其中r n ( x ? x 0 ) ? ? n ! x 0 ( x ? t ) n f ( n ?1) (t )dt 证明： n ? 0时， f ( x ) ? f ( x 0 ) ? ? x x f (t )dt ; 0 如何用积分型余项推导拉格朗日型余项： r ( x ? x ( ? 1) n ) ? ? x (t ? x ) n  f ( n ?1) (t ) dt ? 1 ? x  ( x ? t ) n  f ( n ?1) (t ) dt n 0 n ! x 0 1 x n ! x 0 ? 1 1 ? f ( n ?1) (? ) ? ( x ? t ) n dt ? n ! x 0  ( n ? 1)! f ( n ?1) (? )( x ? t ) n ?1 |x ? x 0  ( n ? 1)! f ( n ?1) (? )( x ? x 0 ) n ?1 其中? 介于 x与 x 0 之间， 用到了推广的积分中值定理。 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? ? x x f (t ) d (t ? x )说明： 左边积分变量为 t， 故和 x无关 ? f ( x 0 0 ) ? (t ? x ) f  (t ) |x x 0 ? x x (t ? x ) f  (t ) dt ? f ( x 0  ) ? ( x ? x ) f 0  ( x ) ? 0 0 ? x x  f (t ) d (t ? x ) 2 = f ( x 0  ) ? ( x ? x ) f 0  ( x ) ? 0 0 1 (( t ? x ) 2 2  f (t ) |x x 0 ? ? x (t ? x ) 2 x  f (t ) dt ) = f ( x 0  ) ? ( x ? x ) f 0  ( x ) ? 0 1 ( x ? x ) 2 2 ! 0  f ( x ) ? 0 0 1 ? f 3!  (t ) d (t ? x ) 3 .......... 再次用分部积分法... 最后得： r ( x ? x ) ? n 0 ( ? 1) n n ! ? x (t ? x ) n x  f ( n ?1) (t ) dt 0