数学及应用课题七 一元函数积分.pptxVIP

课 题 七 一元函数积分 课题七 一元函数积分 7.1 定积分的概念及其性质 7.2 微积分的基本公式 7.3 基本积分方法 7.4 定积分的应用 §7.1 定积分的概念及其性质 7.1 定积分的概念及其性质 一、定积分的概念 7.1 定积分的概念及其性质 关于定积分定义的说明： 二、定积分的几何意义 由前面讨论曲边梯形面积的计算可知，当f(x) 0时，由连续曲线 y=f(x) ，直线x = a 、 x = b和x轴所围成的曲边梯形在x轴上方，定 积分 f(x)dx表示该曲边梯形的面积，即: f(x)dx = A (A为曲边梯形的面积 ). 7.1 定积分的概念及其性质 当f(x) 0时，图形在x轴下方， 如图所示 ， 由于定积分 f(x)dx 是一个负值 ，故 f(x)dx表示相 应曲边梯形面积的负值 ，即: f(x)dx = -A . 7.1 定积分的概念及其性质 若f(x)在[ a , b]上有正有负， 则定积分 f(x)dx表示在x轴上方 部分与下方部分各面积的代数和 ， 例如图中， f(x)dx ＝A 1 -A 2 +A 3 . 7.1 定积分的概念及其性质 例1 利用定积分表示下图中阴影部分的面积. 7.1 定积分的概念及其性质 解: 图中阴影部分的面积为： A = [(x − 1)2 − 1]dx [(x − 1)2 − 1]dx 1 7.1 定积分的概念及其性质 例2 利用定积分表示下图中阴影部分的面积. 7.1 定积分的概念及其性质 7.1 定积分的概念及其性质 7.1 定积分的概念及其性质 例3 利用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1) xdx ; (2) 2 4 − x2 dx . 解: （1） xdx 表示由直线y=x 、x=0 、x=2和x轴所围成的 图形的面积，而该直角三角形的面积为2 ，故 xdx=2. 7.1 定积分的概念及其性质 7.1 定积分的概念及其性质 解: （2） 2 4 − x2 dx 表示由曲线 ，直线x=-2 、x=2和x轴所 2π , 故 2 4 − x2 dx =2π . 围成的图形的面积y = 4 − x2 ，而该半圆的面积为 三、定积分的性质 性质1 被积函数的常数因子可以提到积分号前面， 即: kf(x)dx ＝k f(x)dx (k为常数 ). 性质2 函数的代数和的定积分，等于它们的定积分的代数和， 即: [f(x) ± g(x)]dx ＝ f(x)dx ± g(x)dx. 此性质可以推广到任意有限个函数的代数和的情形. 7.1 定积分的概念及其性质 性质3 若将区间[ a , b]分成两部分[ a , c ]和[ c , b] ， 即: f(x)dx ＝ f(x)dx + f(x)dx. 实际上，不论 a 、 b 、 c 的相对位置如何，等式总是成立的. 性质4 若将区间[ a , b]上f(x)=1 ， 则: 1dx ＝ dx =b-a. 7.1 定积分的概念及其性质 例4 已知 x2 dx = ， e2 dx = e − 1， 计算 ((4x2 − 2e2 + 1)dx. 7.1 定积分的概念及其性质 7.1 定积分的概念及其性质 例5 求物体自t=0 至 t=a做变速运动时 (速度为v(t) ) 的位 移 (如图所示) . 7.1 定积分的概念及其性质 7.1 定积分的概念及其性质 课堂练习7.1 §7.2 微积分的基本公式 一、牛顿 － 莱布尼兹公式 定义 设函数 F(x)与 f(x)定义在同一区间内，并且对该区间 内的任一点，都有: F ′ (x) = f(x) ，则称函数 F(x)为 f(x)的一 个原函数. 7.2 微积分的基本公式 7.2 微积分的基本公式 定理 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′ (x) ＝ f(x) ， 则: f(x)dx ＝F(b) − F(a). 上式称为牛顿 － 莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式. 为了 方便，常常把F(b) − F(a)记成F(x) ，于是，上述公式写成下面的 a b 该公式表明: f(x)在[ a , b]上的定积分等于它的一个原函数在积 分上限与积分下限处 的函数值之差. = F(b) − (a) . 格式: f(x)dx = F(x) b a 例1 计算如图所示曲线y = x2 +1及直线x=-1 、x=2 、y=0 所包围的图形的面积. 7.2 微积分的基本公式 7.2