数学及应用课题八 微分方程.pptxVIP

课 题 八 微分方程 课题八 微分方程 8.1 可分离变量的微分方程 8.2 一阶线性微分方程 8.3 二阶微分方程 §8.1 可分离变量的微分方程 一、微分方程的基本概念 1 .微分方程定义 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，如果 未知函数是一元函数的微分的方程，称为常微分方程 . 微分方 程中出现的未知函数导数 (或微分 )的最高阶，称为微分方程的 阶. 8.1 可分离变量的微分方程 2.微分方程的解 定义 如果一个函数代入微分方程后，使得方程两边恒 等，则称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解中所 含任意常数的个数与方程的阶数相同，则这个解叫作微分方 程的通解. 在通解中，如果按照问题所给的特定条件可确定出 任意常数的值，所得到的解称为微分方程的特解，一般这种 用以确定通解中任意常数的特定条件称为初始条件. 8.1 可分离变量的微分方程 8.1 可分离变量的微分方程 二、可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 :g(y)dy=f(x)dx的形式，就是 说. 能把微分方程写成一端只含有 y 的函数和dy ，而另一端只 含有x的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方 程 . 此类方程的解法是 :先分离变量.使等式的一端只含有 y 的 函数和dy ，而另一端只含有x的函数和dx ，然后两端积分， 就可得到该类方程的通解 . 8.1 可分离变量的微分方程 例1 已知曲线上任意点M(x，y)处的切线斜率等于 2x，并且此曲线通过点(1，2)，求该曲线的方程? 解：设所求曲线方程为y = y(x),则由导数几何意义和题设知, 未知函数y = y(x)应满足: = 2x ，即dy = 2xdx. 对上式两边积分,得:y = ∫ 2xdx. 即y = x2 + C (C为任意常数). 由于曲线过(1,2)点,将x =1, y =2代入上式,解得C=1. 因此,所求曲线方程为y = x2 + 1 . dx dy 例2 求微分方程的 = 2xy2 的通解. 解：分离变量.得： = 2xdx. 两边积分 = ∫ 2xdx， 得 = x2 c， 即 y = (C为任意常数 ). 所以，原方程的通解为 y = . y2 dy dx dy 8.1 可分离变量的微分方程 8.1 可分离变量的微分方程 例3 如图所示的RC电路， 已 知在开关S合上前 电容C上没 有电荷， 电容C两端的电压为 零， 电源电动势为E . 把开关合 上，电源对电容C充电，电容C 上的电压UC逐渐升高，求电压 UC随时间t变化的规律. 8.1 可分离变量的微分方程 8.1 可分离变量的微分方程 8.1 可分离变量的微分方程 3 .设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降 落伞离开塔顶 (t=0) 时 的速度为零，求降落伞下落的速度与时间 t 的函数关系. 2.求下列微分方程 y′ = 满足初始条件的 y|x = 0 = 1的特解. 1.求下列微分方程 = 2xy的通解. dx dy 课堂练习8.1 §8.2 一阶线性微分方程 形如 + P(x)y = Q(x)的方程，叫作一阶线性 微分方程. dx dy 8.2 一阶线性微分方程 8.2 一阶线性微分方程 例1 一条曲线通过原点，并且它在点(x , y )处的 切线斜率等于2x+y，求曲线方程. 8.2 一阶线性微分方程 例2 求微分方程y′ + 2xy = 2xe−x2 的通解. 8.2 一阶线性微分方程 例3 有一电路如图所示，其中电源电动势为E = Emsin幼t(Em、幼都是常数），电 阻R和电感L都是 常数. 求电流i(t) . 8.2 一阶线性微分方程 8.2 一阶线性微分方程 8.2 一阶线性微分方程 8.2 一阶线性微分方程 1 . 求微分方程y′ − 2y = 0 满足初始条件y|x = 0 = 1 的 特解. 2 . 求微分方程y′ =(1 + x)3 的通解. 课堂练习8.2 §8.3 二阶微分方程 一、 y ″ = f(x)型微分方程 8.3 二阶微分方程 例1 求微分方程y″ = e2x − cosx的通解. 解：对微分方程进行积分得y′ = e2x − sinx + C . 1 再对上式进行积分得微分方程y″ = e2x − Cosx的通解 : y = e2x + Cosx + C1x + C2 . 8.3 二阶微分方程 二、常系数二阶齐次线性微分方程 形如y″ + Py′ + qy = 0(其中p 、q为常数 )的微分方程称为