数学及应用课题四 平面解析几何.pptxVIP

课 题 四 平面解析几何 课题四 平面解析几何 4.1 直线的方程 4.2 两条直线的位置关系 4.3 距离公式 4.4 圆的方程 4.5 椭圆方程 4.6 双曲线方程 4.7 抛物线方程 4.8 参数方程 4.9 极坐标方程 §4.1 直线的方程 4.1 直线的方程 一、直线的倾斜角、斜率和截距 对给定的一次函数 y = kx+b所确定的直线l , 把直线l 向上的方向与x轴正向之间所成的角α , 称为直线l的倾斜角. α≠90° 时，倾斜角的正切值称为直线l的斜率，它等于直线l对 应函数式中x的系数k , 即k = tanα , α= 90° 时，直线l的斜率不 存在 . 当直线l平行 (或重合 )x轴时，规定α= 0° . 因此，一条直线的 倾斜角的范围是 : 0°≤α＜180° . 如图所示，若直线 l 与 y 轴的交点坐标为(0 ， b) ，把 b 称 为直线 l 在 y 轴上的纵截距，简称截距. 用来表示直线的二元一次方程称为直线的方程. 4.1 直线的方程 4.1 直线的方程 二、 根据已知条件求直线的方程 1 . 已知直线 l 的斜率为 k (或倾斜角 α) ，且过定点 P 0 (x 0 , y 0 ) ，求直线 l 的方程. 例1 如图所示，一条直线 l 过点P(2 ，-1) ，它的倾斜角为 α = 45 ° , 求 l 的方程. 解: 设l的方程为 y = kx+b ， 则k=tan45 °= 1 . 又因为l过点P(2 ，-1)， 将 P点的坐标代入方程得: 即b= -3. 故所求直线 l的方程为 y = x-3. 4.1 直线的方程 2. 直线 l 经过两已知点，求 l 的方程. 例2 已知直线 l 经过点P 1 (3 ，-2) 、P2 (1 ，-4) ，求 l 的方程. 解: 设直线l的方程为 y =kx+b， 因直线l经过P P 两 , P 的坐标代入方程得: 解得 k=1 ，b= -5. 故所求直线 l的方程为 y = x-5. 2 2 1、 b, b 1、 k 3 以 3. 特殊情况下的直线方程 (1)如图所示，直线l过P0 (x 0 ， y 0 ) 且与x轴平行时，α = 0° , 斜率k=0 ，由 y = kx+b得b = y 0 ，所以 y = y 0 就是平行于 x轴的直线l的方程 ，特别地，当 y 0 =0 时， y =0这就是x轴的方程. 4.1 直线的方程 4.1 直线的方程 (2)如图所示，直线l过P0 (x 0 ， y 0 ) 且与 y 轴平行时，α =90° , 斜率不存在， 但直线l上每一点的横坐标都等于x 0 ， 所以x = x 0 就是平行于 y 轴的直线l的 方程. 特别地，当x 0 =0时， x =0这就是 y 轴的方程. 综上所述 : 当一条直线的倾斜角 α≠90° 时，其方程均可用 y =kx+b 的形式 表示 .此时，由已知条件求直线的方程，只要根据给定的条件， 求出k和b , 则直线l的方程就可确定下来. 4.1 直线的方程 解: (1)方程5x-2y+10=0可化为： y = x + 5. 所以直线l的斜率为k = . (2)在方程5x-2y+10=0中， 令x=0 ，得y=5; 令y=0 ，得x=-2; 过点 A(0 ，5)和 B( -2,0)作直线， 则该直线就是 l 的图形，如图所示. 例3 已知直线l:5x-2y+10=0 ，求：（1）直线l的斜率；（2）画出图形. 4.1 直线的方程 课堂练习4.1 §4.2 两条直线的位置关系 一、两条直线的交点及夹角 1 .交点 两条直线相交时，其交点坐标就是这两条直线方程所组成的 方程组的解 . 4.2 两条直线的位置关系 4.2 两条直线的位置关系 2 .夹角 两条直线相交时，形成四个角，把其中小于或等于90 ° 的正 角称为这两条直线的夹角，用 θ表示. 例1 已知两直线l1 ：x − 3y − 1 = 0 ，l2 ：x + y − 1 = 0. 求l1 与l2 的夹角. 4.2 两条直线的位置关系 二、两直线平行 一般地，设两条不重合的直线的方程为 : l1 :y =k1 x+b1; l2 :y =k2 x+b2 . 如果它们平行，则斜率相等，反之，如果它们的斜率相等， 则它们平行. 即: l1 ∥l2 ，k1=k2 . 4.2 两条直线的位置关系 例2 求过点(3 ，2)且平行于直线 2x-5y+3=0的直线方程. 4.2 两条直线的位置关系 三、两直线垂直 一般地，设两条直线都有斜率，且方程为 : l1 :y =k1 x+b1; l2 :y =k2 x+b2 . 如果它们垂直，则斜率互为负