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第1节函数 反函数和原函数对于y=x对称。 只有定义域对于原点对称的函数才能议论奇偶性。 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 2k个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；随意个偶函数的乘 积仍是偶函数。(k=0,1,2......)。 e)假如f(x)是周期函数，周期为T，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|  。 基本初等函数包含：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 全部初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节极限 左右极限存在且相等极限存在。 b) 假如函数在X0极限为A，则能够将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，此中limɑ(x)=0。 xx0 （等价无量小） c) 极限存在极限独一。（极限独一性） d) limf(x) A，且A0，则在x的邻域内，f(x)0。（保号性） xx0 e) 函数f(x) 在点x=x0存在极限，则存在该点的一个去心邻域 U，在U内f(x) 有界。 （有界性） 当limf(x)=A，limg(x)=B，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/Blimg(x)不等于0 n lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A b lim(f(x)^g(x))=A （极限的四则运算） 有限个无量小之和仍旧是无量小。有限个无量小之积仍旧是无量小。无量小和有界量乘积仍旧是无量小。 limf(x)=l g(x) l=0，f(x)=o(g(x)). l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii.0l∞或-∞l0，l≠1，同阶. iv.l=1，等价无量小，记作f(x)~g(x). 特其他，假如lim f(x) k=l(l≠0)，则称f(x) 是g(x)的k阶无量小。 [g(x)] i)等价无量小代换： x→0时，x~sinx~tanx ~arcsinx~arctanx~ex-1~ln(1+x) 1-cosx ~1x2 =》1-cosαx~αx2 2 2 1x-1~1x=》(1x)α-1~αx 2 tanx-x ~1x3 3 x-sinx ~1 x 3 6 特别的，x→0时ax-1~xlna 只有因子才能进行等价无量小的代换。 要着重推行形式。比如【x→0时，x~sinx】，假如当x→x0时，f(x)→0，那么将原式中x换成f(x)也建立。 求极限的方法： 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。 抓头公式（办理多项式比值的极限）。 抓小头公式。（x→0） 抓大头公式。（x→∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】） 两个准则： 夹逼准则 单一有界必有极限 两个重要极限： 1.lim sinx=1（利用单位圆和夹逼准则进行证明） x 0x 1 1 2. lim(1 x elim(1x)xe（利用单一有界准则进行证明） ) x x x0 口诀：倒倒抄。（联合抓头公式） v.无量小的运算性质、等价无量小的代换 有限个无量小之和为无量小。有限个无量小之积为无量小。无量小与有界量乘积为无量小。 12种等价无量小的代换。 左右极限：求分段函数分段点的极限值。 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。结构出“增量比”的形式，则极限就是导数。 定积分的定义求极限。（办理多项乞降的形式） 泰勒公式 泰勒公式中系数表达式： 当=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。 常用的麦克劳林公式： exsinxcosxln(x+1)(1+x)m 洛必达法例 使用前提：（1）分子分母都趋势于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无量。 第一层次 第二层次 0*∞：变换成或 -∞：通分化为（常用换元的方法求解） 第三层次 使用进行转变。 第3节连续与中断 连续 某点：极限值=函数值函数在该点连续 开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。 闭区间：开区间连续切在端点连续 中断 第一类中断点（左右极限都存在） 可去中断点：左右极限相等 跳跃中断点：左右极限不相等 第二类中断点（左右极限起码有一个不存在） 无量中断点：因趋于无量而造成的不存在。 振荡中断点：因振荡而不存在。 初等函数的连续性 i.基本初等函数在相应的定义域内连续。 ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍旧是连续函数。 连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。 原函数连续且单一，反函数必为连续且单一。 全部初等函数在相应定义