绝对值型不等式和三角不等式类型.docxVIP

定理  1  假如  a,b  是实数，则  |a+b|  ≤|a|+|b|  （当且仅当  ab≥0时，等号建立）。 绝对值三角不等式  ab  ab  ab  ab.(a,b  为实数  ) 定理2假如a,b,c是实数，那么 号建立）。 证明：依据绝对值三角不等式有 (a-b)(b-c)≥0时，等号建立）。  |a-c|  ≤|a-b|+|b-c| |a-c|=|(a-b)+(b-c)|  （当且仅当(a-b)(b-c) ≤|a-b|+|b-c|  ≥0时，等 （当且仅当 绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。 题型一解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. 解不等式f(x)＞3； (2)若f(x)＞a对x∈R恒建立，务实数a的取值范围. 【分析】(1)所以不等式f(x)＞3的解集为  (－∞，  0)∪(3，＋∞). 32x,x＜1, (2)因为  f(x)＝1,1≤x≤2,  所以  f(x)min＝1. 2x-3,x＞2. 因为f(x)＞a恒建立，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a. 当a＝－5时，求函数f(x)的定义域； 若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围. 【分析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝| ＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).  x＋1| 由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3. 题型二绝对值三角不等式的应用 [例2] (1) 求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2) 设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若|a|≤1，求|f(x)| 的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． [解] (1)法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3) －(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4. 法二：把函数看作分段函数． 4，x－1， ＝|－3|－|＋1|＝ 2－2，－1≤ x ≤3， ∴－4≤ ≤4.∴ max min ＝－4. y x y y ＝4， y x x －4，x3. (2)|x|≤1，|a|≤1， |f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| |a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| 1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1 1 2 5 5 1 5 ＝－(|x|－2)＋ 4≤ 4. ∴|x|＝2 时，|f(x)|获得最大值4. 规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转变，结构绝对值 不等式的形式．(2)求最值时要注意等号建立的条件，它也是解题的重点． 3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，最小值是________． 分析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：514．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值． 解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号． ∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|获得最小值2. 5．若对随意实数，不等式|x＋1|－|x－2|a恒建立，求a的取值范围． 解：a|x＋1|－|x－2|对随意实数恒建立，∴a[|x＋1|－|x－2|]min. ||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a－3.即a的取值范围为(－∞，－3)． 题型三解绝对值三角不等式 【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、 b∈R恒建立，务实数 x的范围. |a＋b|＋|a－b| ≥f(x). 【分析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得 |a| 又因为|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2，则有2≥f(x). |a| |a| 5 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤. 2 4 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋a对随意的实数 a的取值范围是.【分析】(－∞，0)∪{2}. 题型四利用绝对值不等式求参数范围  x恒建立，则实数 【例3】(2009辽宁)设函