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初一数学基础知识讲义 一、 第一讲 和绝对值有关的问题知识结构框图： 二、 绝对值的意义： 几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。 代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 ?a ?当a为正数? ?也可以写成： | a |? ?0 ?当a为0? ? ???a ?当a为负数? ? 说明：（Ⅰ）|a|≥0 即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 典型例题 例 1．（数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B ． 2c－a C．2a－ 2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有 理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的 正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了 数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例 2．已知： x ? 0 ? z ， xy ? 0 ，且 y ? z ? x ， 那 么 x ? z ? y ? z ? x ? y 的值（ C ） A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定 解：由题意，x、y、z 在数轴上的位置如图所示： 所 分析：  x ? z ? y ? z ? x ? y ? x ? z ? ( y ? z) ? ( x ? y) ? 0 以 数与代数这一领域中数形结合的重要载 体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为 y 由题意得： x ? 3 y ， 数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，y0，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6 数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x、y 在原点左侧，即 x0，y0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y 在原点右侧，即 x0，y0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例 4．（整体的思想）方程 x ? 2008 ? 2008 ? x 的解的个数是（ D ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将 x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程 a ? ?a 的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为 D。 例 5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值． 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2 于 是 1 ? ? 1 ? 1 ? ??1 ab a ?1??b ?1? ?a ? 2??b ? 2? ?a ? 2007 ??b ? 2007 ? 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了 1 1 1 1 最终的结果．2 ?同4 ?学4们? 6可? 6以? 8再?深?入2思008考? 2，010 如果题目变成求 值，你有 办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。 例 6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 ? 2 ，3 与 5， ? 2 与? 6 ， ? 4 与 3. 并回答下列各题： 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： 相等 . 若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为―1，则 A 与 B x ? (?1) ? x ?1 两点间的距离 可以表示为 ． 分析：点 B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点 B 所在的位置。那么点 A 呢？因为 x 可以表示任意有理数，所以点 A 可以位于数轴上的