(79)--高等数学C第三章第五节.pdfVIP

第五节 微 分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的计算 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题 一、微分的概念 (differential) 1. 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改 变量 . 2 设边长由x 变到x  x , x 0 x (x ) 0 0 2 x x x 正方形面积A  x0 , 0 A  (x  x )2  x 2 0 0 2 x A  x 0 0 x x  2x  x  (x )2 . 0 0 (1) (2) (1) : x 的线性函数,且 A 的主要部分; (2) : x 的高阶无穷小, 当x 很小时可忽略. 再例 3 设函数y  x 在点x 处的改变量 0 如 , x 时, 求函数的改变量y . y  (x  x )3  x 3 0 0  3x 2  x  3x  (x )2  (x )3 . 0 0 (1) (2) 当x 很小时, (2)是x 的高阶无穷小o(x ), y  3x 2  x . 既容易计算又是较好的近似值 0 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ? 2. 定 设函数y在某f 区(x 间) 内有定I义 , 义 x , x  x ￎ I . 如果 0 0 y  f (x 0  x )  f (x 0 )  A �x  o (x ) 成立(其 中A是与无x关的常数则称), 函数 y  f (x )在点x并可且微称, 函 A �x 数在 0 点x处相应于 自变量增量的x作 微分, 记 0 dy x  x , 即dy x  x  A �x . 0 0 微分dy 叫做函数增量y 的线性主部.