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第六节 函数的最值及其在经 济 分析中的应用 一、函数的最值 三、小结 思考题 一、函数的最值 经济问题中，经常有这样的问题，怎样 才能使“产品最多”、“用料最少”、“成 本最低”、“效益最高”等等．这样的问题 在数学中大多都可归结为求某一函数（称为 目标函数）的最大值或最小值问题． 　　为了能用微分学的方法求得函数的最值 ，我们总假设所讨论的函数在 [a,b] 上连续 , 在 (a,b) 内可导或者除去个别点外可导． 　　由闭区间上连续函数的最大值和最小值 定理知，目标函数一定有最大值和最小值， 具体求法步骤如下： 第一步，求出有可能取得最值的点 ，包括 使 f (x )  0和 f (x )不存在的点，及区间端点． 　　第二步，计算所求出的各点的函数值 ，比较其大小，选出最大值和最小值． 　　这里不必讨论这些点是否为极值点． 4 2 例 1求 函数在f (x区) 间x上-的2x最大+ 5值 [ - 2,3] 和 最小值. ﾢ 3 令f (x )  4x - 4x  0, 解得 驻 点x1  - 1, x 2  0, x 3  1. 而f (-1)  f (1)  4, f (0)  5, f (-2)  13, f (3)  68. 比较 上述几 个值 的大小, 可得 最大值 和 最小值 分 别 为 f max (3)  68, f min ( - 1)  f (1)  4. 　　下面几种特殊情况 , 能比较简便地确定出函数 的最大值和最小值． 今欲 生 产一个 容积 为V的有 盖 圆柱 形铁桶,问桶 的 和 例 2 底 面半径 为何 值 时, 用料 最 省. 二、函数最值在经济分析中 的应用举例 例 3 某 商 品每 月销售q件 时总, 收 入 函数 为 q - R(q)  1000qe 100 (元) (q 0). 问每 月销售 多少件 商 品时, 总 收 入最大? 总 收 入是 多少? 某企 业每 月生 产q吨产 品的成本 为 例 4 1 C( q)  q2 + 30q + 900(元) (q 0). 100 求其 最低 平均 成本. 某企 业生 产一种 产 品时 固定 成本 为5000元但 每, 生 产 例 5 100台产 品时直接 消耗 成本 要增 加2500元 市.场对 此 商 品 的年 需求量 最 为500台在,此 范 围 内产 品能全 部售 出销, 1 售 的收 入 函数 为5x万-元其x 2 (中是 产), 品售x出数量 单 ( 2 位:百 台若). 超 出此 范 围产, 品就 会积 压 .问该 产 品年 产 多少 台时,才 能使 年利 润 最大, 从 而提 该企 业 的经 济效 益? 某 工厂 每 年 需要某种 原料100万 且t,对 该种 原料 消耗 例 6 是均 匀 的. 已知该 原料 每 吨库存 费 是0.05元 分,期 分批均 匀 进货,每 次进货 费 用 为1000元 试 求, 最经 济 的订货批 量和 年 订货 次