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第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导 数 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的 函数的导数 三、小结 思考题 一、隐函数的导数 (differentiation of functions represented implicitly) 我们前面研究的函数都具有 y =f (x) 的形式 例 如 y = a 2 - x 2 , y =arctan x , 用解析 表 达 式 y表=示f (函x )数 关系 的 函数 称为显 函数. 二元 方程F能(x够, y表) =达0二个 变量 之 间的 关系 . 如x给+定2y一=个1, 能有 一个x确, 定 的与 之对 应y . 定义 : 设 方程F若(x存, y在) =一0,个定 义在 某 区间上 I 的 函数使y =得f 则(x称), F (x , f (x )) ﾺ 0, y = f (x ) 是 由方程F确(x定, y的) =隐0函数 . F (x , y ) = 0 y = f (x ) 隐函数的显化 有些隐函数是容易显化的 , 如 x + 2y =1; 有些则很困难甚至是不可能的 , 例如 - x 5 + y 5 + 2xy 2 + x - y = 0, xy - ex + ey = 0, ey + x 2 + y 2 + 1 = 0. 问题 : 当隐函数不易显化或不能显化时如何求 导 ? 隐函数求导法 : 先假设隐函数存在并且可导 , 我们可以直接 对方程两边求导 , 求导时 , 把 y 看作是 x 的 函数 , 使用复合函数求导法则 , 所得结果一 定是含有 y’ 的表达式 , 从中解出 y’, 即为所 求 . 例 1 x y 求 由方程xy所确- e定+的e 隐=函0 数 y dy dy 的导数及 . dx dx x = 0 解 方程 两边对x求导,得 dy x y dy y + x - e + e = 0, dx dx dy ex - y 解得 = y , 由原 方程 知y x = 0 = 0, dx x + e dy ex - y 故有 = y x = 0 = 1. dx x + e y = 0 x =0 例 2 设曲线C的方程为x 3 + y 3 = 3xy ,求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.