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第五节 第七章 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 引例 : 求到两定点 A (1,2,3) 和 B(2,-1,4) 等距离的点 的 轨迹方程 . 解 : 设轨迹上的动点为M (x ,y , z ) , 则 AM  BM , 即 (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  (x  2)2  (y  1)2  (z  4)2 化简得 2x  6y  2z  7  0 说明 : 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面 . 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程 , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 . 定义 1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关 系 : (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 ; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 , 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 , F (x ,y , z )  0 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 . z S 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 , o y x 求曲面方程 . (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). M (x ,y ,z ) 例 1. 求动点到定点 0 0 0 0 距离为 R 的轨 方程 . 迹 解 : 设轨迹上动点 M (x ,y , z ), 依题意 M 0M  R 为 2 2 2 即 (x  x0 )  (y  y 0 )  (z  z0 )  R 故所求方程为 (x  x0 )2  (y  y 0 )2  (z  z0 )2  R 2 z 特别 , 当M0 在原点时 , 球面方程 M 0 为 x 2  y 2  z 2  R 2