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吉林大学数学学院 李辉来 2013.5 无穷大—对立与统一 数学模型—理想与现实 直观与抽象 殊途同归 人生哲理 我们可以得到结论： 点数与长度没有必然的关系 Newton建立了经典力学，确立 运动的基本方程。他首先建立了一个理想化的数学模型 S=VT 基本假设是：匀速直线运动。刻画了运动本质的三要素 距离S，时间T，速度V S=V T 理想 现实 结论 剖析本质，抓住要害。 最基本的一定是最简洁的。 敢于面对困难，竭力创造发明。 任何学科其基础都是简单而坚实的。 Newton和Leibniz创立的微积分是工业化革命实现的基石。 简单的重复蕴含了伟大的发现 结论： 将有一条曲线充满了整个正方形！ 一般地，曲线是1维的，正方形是2维的。一条1维曲线填满了2维区域， 那么我们的数学到底出了什么问题呢？ 这方面的研究促使人们正视现实，究其根源。推动了“维数”（即空间复杂性）的研究，孕育出现代数学的一个极具活力的分支—分形几何和混沌的研究。 结论： 高度的类比性 高度的概括性 高度的抽象性 高度的创新性 些微懒惰致使失败 例3 线性方程组 点滴勤奋造就成功 三个臭皮匠赛过诸葛亮 众人拾柴火焰高 小洞不补，大洞三尺五 冰冻三尺非一日之寒 根据上述三个图形，给出你认为最适合的男女关系。 平行线 交叉线 心电图 无穷→集合论→数学基础 数学分析 线性代数 解析几何 概率统计 连续量 离散量空间结构 空间不变量 随机量 泛函分析 拓扑学 无穷维空间的结构与形式 空间形式 现代数学研究的基础 现代数学理论和应用分支 * * 数列就是“数数”。 首先来看两个数列: 1，2，3，…，n, … 2，4，6， …，2n， … 正偶数与自然数的个数一样多！ 怪 因为第一个数列的项有重复，所以第一个数列（正有理数）的“个数”不会比自然数的“个数”多。另一方面，自然数显然是正有理数的一部分，所以自然数的“个数”也不会比正有理数的“个数”多，因此，我们得到一个结论： 正有理数与自然数的“个数”一样多！ 怪 例1 线段的点一样多 演示表明:两条线段长度不等,但是点数相等. 怪 例2 封闭曲线的点一样多 演示表明:两个圆(甚至是封闭曲线)长度不等,但是点数相等. 怪 ● 例3 圆周比直线多一点 演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点. 而圆周是有限长,直线是无限长!!!! 怪 问题: 为什么事实与感觉不一样? 这种事实说明过去的知识是否有什么缺陷,才使得我们产生错觉? 为什么无穷多会出现如此令人惊讶的现象? 有理数能够”数”,那么无理数能否”数”? 实数能否”数”呢? ● ● ● ● ● 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点 演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！ ● ● ● ● ● 同一地方不同的两扇门 Peano（1858-1932），意大利数学家、符号逻辑奠基人。他构造的Peano曲线既是对经典维数提出挑战，又具有分形结构。 下面是Peano曲线的构造过程。 16等分方格 64等分方格 256等分方格 1024等分方格 4096等分方格 所谓期权，即在某个时间或者某段期间，以约定执行价格买进或者卖出某证券的权利。 Black和Scholes(1973)，Merton（1973）发表了关于期权定价的奠基性文章，1997年Scholes和Merton获得了Nobel经济学奖。他们的工作主要在于欧式期权的定价模型，即若在某个规定时间T 时兑现合约，现在应该以什么价格约定，即期权定价 （Option Pricing）。他们以类似于供热系统的方程为模型，即 上述方程称为“倒向微分方程”。倒向微分方程是金融数学研究的一个主要内容，在考虑到随机现象，又引出了“随机倒向微分方程”，“随机动力系统”等数学新领域。对于经济学的研究提供了强大的技术。 扎实的学科基础 广阔的学术视野 坚定的研究精神 良好的联想思维 * *