高等数学对坐标的曲线积分.pptxVIP

会计学1高等数学对坐标的曲线积分 求和取极限取近似取即近似值精确值或第1页/共27页 定义11.2 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑用L上的点把L分成n个有向小弧段曲线弧,在L上有界.上任意取定的点.如果当各小段长度的最大值第2页/共27页 的极限总存在, 记作则称此极限为函数在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分,或称第二型曲线积分.即类似地定义称在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分.积分弧段被积函数第3页/共27页 在应用中常出现组合形式其中或向量“点积”形式 沿闭曲线L的曲线积分记作第4页/共27页 物理意义沿平面曲线L所做的功为类似地, 可定义空间向量函数沿着空间曲线L的第二型曲线积分为其中第5页/共27页 对坐标的曲线积分具有下列性质: 沿平面曲线L的第二型曲线积分存在, 则设(1) 线性性质:积分存在, 且沿曲线L的第二型曲线其中 为任意常数.第6页/共27页 LL1L2(2) 可加性: 且它们的方向相应地一致, 则(3) 有向性: 有向曲线,则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!设L是有向曲线,第7页/共27页 定理11.2 设在有向曲线弧L上连续,且11.2.2 第二型曲线积分的计算则曲线积分第8页/共27页 则则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形第9页/共27页 (3) 对于空间曲线 第10页/共27页 例 计算解⌒⌒(1) 取 x为积分变量第11页/共27页 (2) 取 y为积分变量第12页/共27页 解 (1)例 计算其中A点对应 B点对应第13页/共27页 B点对应O点对应第14页/共27页 (2)O点对应A点对应问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果也不同.第15页/共27页 解 (1)A点对应 L的参数方程为B点对应其中例 计算第16页/共27页 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, (2)虽然路径不同, 但积分结果相同.第17页/共27页 解L的参数方程为其中L为圆周例 计算第18页/共27页 其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例 计算A点对应B点对应第19页/共27页 (1) L是上半圆周 反时针方向;解A点对应 (2) L是x轴上由点 到点 的线段. (1)中L的参数方程为B点对应其中原式=练习第20页/共27页 (2) L的方程为原式=(2) L是x轴上由点 到点 的线段. 其中第21页/共27页 11.2.3 两类曲线积分之间的关系设A, B分别是曲线L的起点和终点, L的长度为l. M是曲线上的动点, 取弧长 作参数, 可以表示为以s为参数的参数方程 则曲线L于是 第22页/共27页 其中方向余弦. 即 这就是平面上两类曲线积分之间的关系. 第23页/共27页 类似地,空间曲线 上的两类曲线积分有如下关系其中处的切线向量的方向余弦. 第24页/共27页 例 把对坐标的曲线积分解 所以化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0,0)到(1,1).由第25页/共27页 作 业习题11.2 (276页) 1. (1)(4) 2. (1)(2) 3.第26页/共27页