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会计学1高等数学多元函数积分学的应用肖萍 第 5 章 多元函数积分学的应用§0 点函数积分 定义1. 设?为有界闭区域, 函数u=f (P)(P??)为?上的有界点函数. 将几何体?任意分成n个子闭区域??1, ??2, …, ??n , 其中??i表示第i个子闭区域, 也表示它的度量. 在??i上任取一点 Pi, 作乘积 f (Pi) ??i ,并作和 如果当各子闭区域??i的直径中的 最大值?趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限 为点函数f (P)在?上的积分, 记为 即第1页/共51页 其中?称为积分区域, f (P) 称为被积函数, P称为积分变量, f (P)d?注1.点函数积分的物理意义: 设一物体占有有界闭区域?, 其密度为?=f (P), 该物体的质量为称为被积表达式, d?称为度量微元.注2. 特别地, 当 f (P) = 1时, 有第 5 章 多元函数积分学的应用第2页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用注3. 点函数积分可分成以下六类： 1. 若?=[a,b]?R, f (P) = f (x), x?[a,b], 则这是 f (x)在[a,b]上的定积分. 当f (x)=1时, 是区间长.2. 若?=L?R2, 且L是一平面曲线, f (P) = f (x, y), (x, y)?L, 则这是 f (x, y)在平面曲线L上的第一类曲线积分. 当f (x)=1时, 是平面曲线L的弧长.第3页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用3. 若?=??R3, 且?是一空间曲线, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z)??, 则这是 f (x, y, z)在空间曲线?上的第一类曲线积分. 当f (x , y, z)=1时, 是空间曲线? 的弧长.4. 若?=D?R2, 且D是一平面区域, f (P) = f (x, y), (x, y)?D, 则这是 f (x, y)在平面区域D上的二重积分. 当f (x , y)=1时, 是平面区域D的面积.第4页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用5. 若?=??R3, 且?是一空间曲面, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z)??, 则这是 f (x, y, z)在空间曲面?上的第一类曲面积分. 当f (x, y, z)=1时, 是空间曲面?的面积.6. 若??R3, 且?是一空间区域, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z)??, 则这是 f (x, y, z)在空间区域?上的三重积分. 当f (x, y , z)=1时, 是空间区域?的体积.第5页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用注4. 点函数积分具有以下八条性质： 设 f (P), g(P)在有界闭区域?上都可积, 则有 性质1性质2线性性性质3其中?1∪?2 = ? , 其中?1与?2无公共内点.区域可加性第6页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用性质4当 f (P)=1时, 有性质5若 f (P) ? 0, P??, 则 推论1. 若 f (P) ? g(P), P??, 则保号性 推论2. 性质6设 f (P)在?上的最大值为M, 最小值为m, 则其中D(?)为?的度量.估值性质第7页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用性质7设 f (P)在?上的连续, 则至少有一点P*??, 使得其中 称为函数f (P)在在?上的平均值. 积分中值定理性质8 (对称性质)1. (1) 对于二重积分和第一类平面曲线积分有: 若f (P)?C(?), ?关于x(y)轴对称, ?1为?被x(y)轴切割的一半区域, 则第8页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用(2) 对于三重积分, 第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若 f (P) ? C(?), ?关于xoy面 (yoz面) (zox面) 对称, ?1为?被xoy面 (yoz面) (zox面)切割的一半区域, 则第9页/共51页 第 5 章 多元函数积分学的应用2. (1) 对于二重积分和第一类平面曲线积分有: 若f (P)?C(?), ?关于原点对称, ?1为?被过原点的任一条直线切割的一半区