高等数学多元函数的极值及其求法.pptxVIP

会计学1高等数学多元函数的极值及其求法 2定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值且在该点取得极值 ,则有存在故第1页/共39页 3第2页/共39页 4 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：第3页/共39页 5时, 具有极值定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极大值;A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数第4页/共39页 6第5页/共39页 7例1.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .第二步 判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第6页/共39页 8在点(?3,0) 处不是极值;在点(?3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;第7页/共39页 9解第8页/共39页 10第9页/共39页 11第10页/共39页 12二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大)依据第11页/共39页 13解如图,第12页/共39页 14第13页/共39页 15第14页/共39页 16解由第15页/共39页 17第16页/共39页 18 对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。例5某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位，产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润。解 利润函数为第17页/共39页 19（利润函数）解方程组求得唯一驻点（5，8）所以 在（5，8）取得极大值第18页/共39页 20无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.第19页/共39页 21三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化第20页/共39页 22方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有第21页/共39页 23引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.第22页/共39页 24推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件第23页/共39页 25例6抛物面 被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解 该问题即求函数在条件 及x+y+z=1下的最大值与最小值。求偏导得到可能的极值点：第24页/共39页 26由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为第25页/共39页 27解则第26页/共39页 28例8 某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收入R（万元）与电台广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2（1） 在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；（2）若提供的广告费用为1. 5万元,求相应的最优广告策略.第27页/共39页 29解(1)销售净收入为L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2由极值必要条件Lx=13-8y-4x=0 , Ly=31-8x-20y=0 得驻点(x0,y0)=(0.75,1.25)由于 Lxx=-40,Lxy=-8,Lyy=-20 得B2-AC= -160 (x0,y0)=(0.75,1.25)为极大值点,亦最大值点于是,电台广告费为0.75万元,报纸广告费为1.25万元时,销售净收入最大,最大值为39.25万元. 第28页/共39页 30第29页/共39页 31例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1=18-2Q1,P2=12-Q2总成本为C=2Q+5,Q=Q1+Q2（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量