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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟184 一、选择题问题:1. 则f(x)在x=0处______A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导D.可导答案:C[解析]  由f+(0)，f-(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但f+(0)≠f-(0)，所以f(x)在x=0处不可导，故选C。 问题:2. 设f(x)在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f(0)=0。则φ(x)在x=0处______A.不连续B.连续但不可导C.可导但φ(x)在x=0不连续D.可导且φ(x)在x=0连续答案:D[解析] 因为  所以φ(x)在x=0连续。  x≠0时，  则有   因此，φ(x)在x=0连续，故选D。 问题:3. 设函数则f(x)在x=0处______A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导答案:C[解析] 显然f(0)=0，对于极限由于当x→0时，是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，即因此f(x)在x=0处连续，排除A、B。 又因为不存在，所以f(x)在x=0处不可导，故选C。问题:4. 设函数f(x)在x=0处连续，且则______A.f(0)=0且f-(0)存在B.f(0)=1且f-(0)存在C.f(0)=0且f+(0)存在D.f(0)=1且f+(0)存在答案:C[解析] 由知，又因为f(x)在x=0处连续，则  令t=h2，则   所以f+(0)存在，故选C。  f(x0)存在的定义是极限存在，该定义式可以推广到如下形式：要注意式中的□如果是恒正或是恒负的，该极限式就变成了函数的右导数或左导数。问题:5. 函数f(x)=(x2+x-2)|sin2πx|在区间上不可导点的个数是______A.3B.2C.1D.0答案:B[解析] 设g(x)=x2+x-2，φ(x)=|sin2πx|，显然g(x)处处可导，φ(x)处处连续，有不可导点。形如f(x)=g(x)|φ(x)|，其中g(x)在x0的某邻域内连续，φ(x)在x=x0处可导，则f(x)在x0处可导根据上述结论，只须验证φ(x)在不可导点处g(x)是否为零。 φ(x)=|sin2πx|的图形如图所示，在内只有不可导点其余均可导。  因为所以f(x)=g(x)φ(x)在处不可导，在x=1处可导，其余点均可导，故选B。问题:6. 设f(x)=|x|sin2x，则使导数存在的最高阶数n=______A.0B.1C.2D.3答案:C[解析] 因为所以  又因为所以  从而  故f(3)(0)不存在。因此n=2，故选C。 问题:7. 下列函数中在x=0处不可导的是______ A．f(x)=|x|sin|x|  B． C．f(x)=cos|x|  D． 答案:D[解析] 对于选项A，  故f(0)=0；  对于选项B，   故f(0)=0；  对于选项C，   故f(0)=0；  对于选项D，   而有   左、右导数不相等，f(0)不存在，故选D。  本题计算函数的左导数和右导数的时候用到了等价无穷小替换计算极限常用的等价无穷小替换还有 x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)。 问题:8. 设函数f(x)=|x3-1|φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的______A.充分必要条件B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件答案:A[解析] 由于  由函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件为f-(1)=f+(1)，可得-3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，故选A。 问题:9. 设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f(0)=b，其中a，b为非零常数，则______A.f(x)在x=1处不可导B.f(x)在x=1处可导，且f(1)=aC.f(x)在x=1处可导，且f(1)=bD.f(x)在x=1处可导，且f(1)=ab答案:D[解析] 根据题意，令x=0，则f(1)=af(0)。由导数的定义  且由f(0)=b可知，   因此故选D。问题:10.