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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟194 一、选择题问题:1. 设D为单位圆则______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I1＜I2C.I3＜I2＜I1D.I1＜I3＜I2答案:D[解析] 由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3是y的奇函数，则  积分区域D关于直线y=x对称，从而由轮换对称性可得   由于在D内|x|≤1，|y|≤1，则x6+y6≤x4+y4，则从而有I1＜I3＜I2，故选D。问题:2. 设Dk是圆域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第是象限的部分，记则______A.I1＞0B.I2＞0C.I3＞0D.I4＞0答案:B[解析] 方法一：令x=rcosθ，y=rsinθ，则有  同理可以计算出故选B。 方法二：在区域D2内，y＞0，x＜0，可以得到y-x＞0，所以I2＞0；在区域D4内，y＜0，x＞0，可以得到y-x＜0，所以I4＜0。  积分区域D1关于y=x对称，所以则 同理，I3=0。故选B。 问题:3. 设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则______ A．不一定存在  B．存在且等于f(0，0)  C．存在且等于πf(0，0)  D． 答案:C[解析] 由积分中值定理知  故选C。 问题:4. 设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则等于______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 积分区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如图)。在直角坐标系下，  故排除A、B两个选项。   在极坐标系下  故选D。 问题:5. 设函数f(x，y)连续，则二次积分等于______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 由题设可知，可转化为0≤y≤1，π-arcsiny≤x≤π，故选B。 当时，y=sinx的反函数是x=π-arcsiny。问题:6. 累次积分可写成______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C。二、填空题问题:1. 设z=xg(x+y)+yφ(x，y)，其中g，φ具有二阶连续导数，则=______。答案:g(x+y)+xg(x+y)+2yφ(xy)+xy2φ(xy)[解析] 由题干可知， 问题:2. 设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数z=f(x，xy)，则=______。答案:xf12+f2+xyf22[解析] 由题干可知， 问题:3. 设D={(x，y)|x2+y2≤1}，则=______。答案:[解析] 利用函数奇偶性及轮换对称性 问题:4. 设D={(x，y)||x|≤y≤1，-1≤x≤1}，则=______。答案:[解析] 设第一象限的区域为D1，则 问题:5. 答案:1-sin1[解析] 积分区域D如图所示  三、解答题问题:1. 求|z|在约束条件下的最大值与最小值。答案:解：|z|的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2-2z2)+μ(x+3y+3z-5)。  令 解得   所以当时，|z|=1最小；当时，|z|=5最大。问题:2. 求二重积分其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}。答案:解：曲线xy=1将区域分成两个区域D1和D2+D3(如图所示)  [解析] 计算二重积分的步骤为：第一步，画出积分区域的草图，并考虑能否应用对称性简化计算；第二步，选择坐标系(直角坐标系或极坐标系)；第三步，选择积分次序(原则为区域划分少，先积分容易)；第四步，确定累次积分上、下限(后积先定限，限内画条线，先交为下限，后交为上限)。问题:3. 已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值。答案:解：根据题意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C(y)=-2y，因此有C(y)=-y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故 f(x，y)=x2-y2+2。  令得可能极值点为x=0，y=0。且  Δ=B2-AC=4＞0，所以点(0，0)不是极值点，