[研究生入学考试题库]考研数学一模拟587.docxVIP

[研究生入学考试题库]考研数学一模拟587 一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. 由方程2y3-2y2+2xy+y-x2=0确定的函数y=y(x)______A.没有驻点．B.有唯一驻点，但不是极值点．C.有唯一驻点为极小值点．D.有唯一驻点为极大值点．答案:C[解析] 由2y3-2y2+2xy+y-x2=0两边对x求导，得(6y2-4y+2x+1)y+2y-2x=0．令y=0，得y=x．与原方程联立，得x(2x2-x+1)=0，有唯一解x=0．在x=0处对应y=0，在点(0，0)处，y的系数(6y2-4y+2x+1)|(0，0)=1≠0． 所以由方程2y3-2y2+2xy+y-x2=0确定的函数y=y(x)有唯一驻点x=0(对应y=0)．再求y，  有(6y2-4y+2x+1)y+(12yy-4y+2)y+2y-2=0．  以x=0，y=0，y=0代入，得y-2=0，即y=2＞0．所以x=0处对应的y=y(x)为极小值．选C． 问题:2. 设，则______A.A～B，C～D．B.A～D，B～CC.A～C，B～D．D.A，B，C，D中没有相似矩阵．答案:B[解析] 观察矩阵A，B，C，D知，有r(A)=r(B)=r(C)=r(D)=1，故A，B，C，D均有特征值λ=0，且因r(0E-A)=r(0E-B)=r(0E-C)=r(0E-D)=1，均对应有两个线性无关特征向量(λ=0至少是二重特征值)，另一个特征值为  由于A，B，C，D均可相似对角化，且A的特征值与D的特征值相同，B的特征值与C的特征值相同，故  故应选B．问题:3. 设则α，β的数值为 A． B． C． D．均不对． 答案:C问题:4. 设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是______A.若A，B有相同的特征值，则A与B相似．B.A的特征值中非零特征值的个数与A的秩相等．C.若A与B相似，则A，B与同一对角矩阵相似．D.若A可对角化，且A与B相似，则A，B与同一对角矩阵相似．答案:D[解析] 令显然A，B的特征值相同，全为零．显然，A与B不相似，因为R(A)=2≠R(B)=1．A不正确． 又R(A)=2，然而A的特征值全为零．B不正确． 又若A与B相似，又若A不可对角化，则B也不可对角化，反证即可，因为相似矩阵具有传递性，C不正确．选D． 问题:5. 设级数收敛，则必收敛的级数为 A． B． C． D． 答案:D问题:6. 设二维随机变且(X，Y)的联合密度函数为则k值为______．A.2B.4C.6D.8答案:C[解析] 由 得k=6，选C． 问题:7. 设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则 A．φ[f(x)]必有间断点．  B．[φ(x)]2必有间断点．  C．f[φ(x)]必有间断点．  D．必有间断点．答案:D问题:8. 已知  其中D由x=0，y=0，x+y=1围成，则______ A.I＜J＜K.B.K＜J＜I.C.I＜K＜J.D.K＜I＜J.答案:C[解析] 由于积分区域相同，可通过比较函数值的大小来求解． 因为在积分区域D内，0≤x+y≤1，则有  ln(x+y)≤sin(x+y)≤x+yln3(x+y)≤sin3(x+y)≤(x+y)3， 故  问题:9. 设函数p(x)在区间[a，b]上连续，y(x)在区间[a，b]上具有二阶导数且满足 y(x)+p(x)y(x)-y(x)=0，y(a)=0，y(b)=0，  则在[a，b]上，y(x)______ A.有正的最大值，无负的最小值．B.有负的最小值，无正的最大值．C.既有正的最大值，又有负的最小值．D.既无正的最大值，又无负的最小值．答案:D[解析] 由于y(x)在[a，b]上连续，所以y(x)在[a，b]上有最大值与最小值．又y(a)=y(b)=0，故在开区间(a，b)内至少存在一个最值点，也是极值点，设为x0，有y(x0)=0，代入所给方程，有 y(x0)-y(x0)=0，y(x0)=y(x0)．  如果y(x0)＞0，则y(x0)＞0，由极值判别法知y(x0)是y(x)的一个极小值．同理，如果y(x0)＜0，则y(x0)＜0，y(x0)是y(x)的一个极大值．  综上，在区间[a，b]上既不可能有使y(x)