[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟200.docxVIP

[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟200 一、选择题问题:1. 若y=xex+x是微分方程y-2y+ay=bx+c的解，则______A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=1答案:B[解析] 由于y=xex+x是方程y-2y+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=11，则a=1。x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y-2y+y=bx+c，得b=1，c=-2，故选B。问题:2. 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是______A.y-y-y+y=0B.y+y-y-y=0C.y-6y+11y-6y=0D.y-2y-y+2y=0答案:B[解析] 由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=-1，-1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r-1)(r+1)2=0，即r3+r2-r-1=0。对应的微分方程为y+y-y-y=0，故选B。问题:3. 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是______A.y+y-4y-4y=0B.y+y+4y+4y=0C.y-y-4y+4y=0D.y-y+4y-4y=0答案:D[解析] 已知题设的微分方程的通解中含有ex，cos2x，sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为r=1，r=±2i，所以特征方程为 (r-1)(r-2i)(r+2i)=0，  即 r3-r2+4r-4=0。  因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为  y-y+4y-4y=0，  故选D。 问题:4. 设非齐次线性微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是______A.C[y1(x)-y2(x)]B.y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]C.C[y1(x)+y2(x)]D.y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]答案:B[解析] 由于y1(x)-y2(x)是对应齐次线性微分方程y+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)-y2(x)]，故原方程的通解为 y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]，  故选B。 问题:5. 方程y-3y+2y=ex+1+excos2x的特解形式为______A.y=axex+b+Aexcos2xB.y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)C.y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)D.y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)答案:D[解析] 齐次微分方程y-3y+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，则方程y-3y+2y=ex+1+excos2x的特解为 y=arex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，  故选D。 问题:6. 微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为______A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx答案:A[解析] 对应齐次方程y+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对于方程y+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为  对于方程y+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为   因此y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为  y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)，  故选A。 问题:7. 微分方程y-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为______A.a(eλx+e-λx)B.ax(eλx+e-λx)C.x(aeλx+be-λx)D.x2(aeλx+be-λx)答案:C[解析] 原方程对应的齐次方程的特征方程为r2-λ2=0，其特征根为r1,2=±λ，所以y-λ2y=eλx的特解为的特解为根据叠加原理可知原方程的特解形式为  故选C。 二、填空题问题:1. 微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是______。答案:x=y2+y[解析] 将x看作未知函数，则即该式为x对y的一阶线性方程，又因y|x=2=1＞0，则