2021年高等数学竞赛题库不定积分与定积分.docVIP

高等数学竞赛 不定积分 不定积分概念与性质 1、设，求 2、设，求 3、已知，试求函数 运用基本积分法求不定积分 运用凑微分法求不定积分 求下列不定分; (1)（2）（3）（4） 2、求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） 二、运用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分 （1） （2） （3） （4） 2、倒代换（即令）求下列积分 （1） （2） 3、指数代换（令则） （1） （2） 4、运用分部积分法求不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） 5、建立下列不定积分递推公式 （1） （2） 有理函数积分 1、求下列不定积分 （1） （2） （3） 2、求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 简朴无理函数积分 1、 2、 三角有理式积分 1、 2、 3、 4、 5、 6、 具有反三角函数不定积分 1、 2、 抽象函数不定积分 1、 2、 分段函数不定积分 例如：设 求. 高等数学竞赛 定积分 比较定积分大小 比较定积分和大小 比较定积分和大小 运用积分估值定理解题 一、估值问题 1、试预计定积分值 2、试预计定积分值 二、不等式证明 1、证明不等式： 2、证明不等式： 三、求极限 1、 2、 关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题 1、求下列导数： （1）； （2）由方程拟定隐函数导数 2、设在上持续且满足，求 3、设为关于持续函数，且满足方程，求及常数. 4、求下列极限： （1） （2） 5、设是持续函数，且，求. 6、已知且，求及 定积分计算 一、分段函数定积分 1、设求 2、求定积分 二、被积函数带有绝对值符号积分 1、求下列定积分： （1） （2） 2、求定积分值 三、对称区间上积分 1、设在上持续，计算 2、设在上持续，且对任何有，计算 3、计算积分 4、设在区间上持续，为偶函数，且满足条件（为常数）. （1）证明： (2) 运用（1）结论计算定积分 四、换元积分法 1、求下列定积分： （1） （2） （3） 五、分部积分 1、设有一种原函数为，求 2、 3、 积分等式证明 一、换元法（合用于被积函数或其重要某些仅给出持续条件） 1、若函数持续，证明： （1） （2） （3） 2、设持续，求证，并计算 3、设持续，且关于对称，，z证明： （提示：关于对称，即） 二、分部积分法（合用于被积函数中具有或变上限积分命题） 例：设持续，，证明： 三、构造辅助函数法（合用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立命题） 解题思路：（1）将或改成，移项使等式一端为零，则另一端即为所作辅助函数或。 （2）验证满足介值定理或微分中值定理条件。 （3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。 1、设在上持续，证明：至少存在一点，使得： 2、设在上持续，在内可导，.求证：在内至少存在一点使 四、积分不等式证明 惯用证明积分不等式定理有：定积分比较定理，估值定理，函数单调性，积分与微分中值定理。 1、设在上持续，且严格递增，证明： 2、设在上持续且单调减少，，求证： 3、设在上可导，且.证明： 广义积分 1、求下列广义积分 （1） （2） （3） （4） 2、证明：无穷积分当时收敛，当时发散. 3、当时，是觉得瑕点瑕积分，证明它在时收敛，在时发散. 高等数学竞赛 导数与微分练习 运用导数定义解题 设函数 又在处可导，求复合函数在处导数。 已知在处可导，求 设 求在点处导数 设函数在处可导，且试求 设求极限 设在上有定义，且又，求 导数在几何上应用 设函数由方程拟定，求曲线在处法线方程 已知是周期为5持续函数，它在某个领域内关于系式 其中是当时比高阶无穷小，且在处可导，求曲线在点处切线方程. 运用导数公式及求导法则求导 1、已知，求 2、若，求 3、若 4、设函数由方程拟定。求 5、设函数由所拟定，求 6、设函数，其中具备二阶导数，且其一阶导数不等于1，求 求高阶导数 惯用办法：（1）将函数变形。运用已知函数阶导数公式； （2）运用莱布尼兹公