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正弦定理、余弦定理 课程标准 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 2、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 基础知识回顾 1．正弦定理 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 正弦定 理的常 见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A). 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C. 余弦定理的常见变形 (1)cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； (2)cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)； (3)cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 3．三角形的面积公式　 (1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)； (2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B； (3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 自主热身、归纳总结 1、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) 2、在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝eq \r(3).则S△ABC＝(　　) A.eq \r(2)　　　 B.eq \r(3)　　　　 C.eq \f(\r(3),2)　　　　 D．2 3、在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 4、在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是　　 A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 5、在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于________．　 . 6．在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为________． 7、在△ABC中，AB＝eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则C＝____． 例题选讲 考点一、运用正余弦定理解三角形 例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1、．【2020江苏淮阴中学期中考试】在中，如果，那么________． 变式2、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______． 变式3、(2020·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°. (1)求边长a； (2)求AB边上的高CD的长． 变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求，的值： （2）求的值． 方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想． 考点二、利用正、余弦定理判定三角形形状 例2　△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． 变式1、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 变式2、△ABC中，内角A，B，C所对