2013年中国科学技术大学概率论与数理统计考研真题.pdfVIP

中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称：概率论与数理统计 考生须知： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、（10 分）假定通过验血可以诊断某种疾病，验血结果只有两种：阴性或阳性。 已知当结果显示为阳性时，的确患有该种疾病的概率为0.95，而显示为阴性时， 患有该种疾病的概率为0.02.有一个病人到某诊所看病，他告诉医生他感觉不舒服， 医生为他做了检查并验了血，在看到验血结果之前，医生认为他患病的可能性为 0.3，问在看到验血结果为阳性时该医生应如何修改他先前的判断？ 二、（10 分）有5 个家庭，每家有6 个孩子，问至少有3 家育有4 个或更多个女孩 子的概率是多少？ （假定每家的任一个孩子的性别与其他孩子的性别相互独立而 1 且是女孩的概率为 ） 2 三、（共 30 分，每小题 15 分）设一家超市买入数量为B的某种商品，这种商品的 需求量是随机的，用Y表示 （Y取非负整数值）。又假设每卖出一件这种商品，超市 盈利s元，而贮存一件所需费用为t元。 （a）试证：当Y取值为y 时，超市在这种商品上的损失函数为： ( ) −sy + t B −y , y ≤B ( ) L y, B = �−sB, y ( ) （b）假设Y 的分布为P Y = y = py （已知），试求使超市获得平均最大盈利的B值。 四、（共30 分，每小题10 分）设R的分布密度为 2， 0 1 ( ) f = �0， 其他 ( ) （a） 试求概率P ≤R ≤ , 0 1； （b） 试求R的期望和方差； （c） 现有 100 个相互独立且与R 同分布的随机变量：R1 ，R2 ，⋯, R100 。试 用正态分布表示如下概率： 科目名称：概率论与数理统计 第1 页共2 页 R +R +⋯+R 1 P � 1 2100 100 3�. 五、（10 分）设有一个均匀的骰子和若干均匀硬币。掷一次骰子，然后按照投掷的 点数再抛掷相同数目的硬币，以Y记这些硬币中出现正面的个数。试求Y 的概率分 布。 六、（共20 分，每小题10 分）设X与Y有如下联合密度函数： 2x + 2y −4xy , 0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1, ( ) f x, y = � 0 , 其他. (a)试求X与Y 的边际分布密度； (b)试求给定X = 1时Y 的条件密度fY(y |X = 1) 。 4 4 七、（20 分）考虑一个容量为n 的样本：X1 ，X2 ，⋯, Xn ，它们共同的分布为 λe−λ(x−θ), x ≥ θ, ( )