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任意性存在性恒成立 知识总结 (1)恒成立问题 1. ?x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA； 2. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)maxA. 3. ?x∈D,均有f(x) g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) 0 ∴ F(x)min 0 4. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) ﹤0∴ F(x) max ﹤0 5. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x)min g(x)max 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x) max g(x) min (2)存在性问题 1. ?x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x) max A； 2. ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min A 3. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)， ∴ F(x) max 0 4. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x) ∴ F(x) min 0 5. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max g(x) min 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) min g(x) max (3)相等问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)} {g(x)} 2. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x)min g(x) min 2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max g(x) max (5)恰成立问题 1. 若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D； 2. 若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D. 具体分析 1、双存在性问题 “存在，存在，使得成立”称为不等式的双存在性问题，存在，存在，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小.，即.（见下图1） “存在，存在，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大，即.（见下图2） 2、双任意性问题 “任意，对任意的，使得成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意，对任意的，使得成立，即在区间任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即. “任意，对任意的，使得成立”，即在区间内任意一 个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即. 3、存在任意性问题 “存在，对任意的，使得成立” 称为不等式的存在任意性问题. 存在，对任意的，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即. （见下图3） “存在，对任意的，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大，即.（见下图4） 【方法讲评】 题型一 双存在性问题 使用情景 不等式中的两个自变量属性都是存在性的. 解题理论 存在，存在，使得成立” 称为不等式的双存在性问题，存在，存在，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小，即. “存在，存在，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大，即. 【例1】已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，设，若存在，，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，） 当时，，， , 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，的减区间为，增区间. 当时，的减区间为. 当时，的减区间为， 增区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为， ，令，得. 时，，单调递减， ，，单调递增， 所以在上的最小值为， 由题意可知，解得, 所以. 【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反. 【反馈检测1】设函数， （1）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示）,并确定的单调区间； （2）在（1）的条件下，设，函数，若存在使得成立，求的取值范围. 题型二 双任意性问题 使用情景 不等式的两个自变量属性都是任意的.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 解题理论 “任意，对任意的，使得成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意，对任意的，使得