10交叉知识综合问题 讲义及练习.docxVIP

Q群675260005专供 讲次10.交叉知识综合问题-教师版 一.综述 求空间图形中的点的轨迹既是一个难点,也是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想 向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带.解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点. 导数是高中阶段研究函数性质的重要工具,尤其是求最值,求切线.圆锥曲线中的一些切线问题和最值问题可以借助导数来处理. 二.例题精讲 破解规律 例1. 如图，正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( ).　　　　 A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。 解：设于点F，过点P作于点E，连结EF，则平面PEF，，即。因为，且，所以.由抛物线定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，故应选B. 点评: 将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理 规律总结: 从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化. 现学现用1: 如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ） A. B. C. D. 解析:在平面BCC1B1上，P到直线C1D1的距离为|PC1|， ∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，∴点P到点C1的距离与到直线BC的距离相等， ∴轨迹为抛物线,且点C1为焦点，BC为准线；故排除C，D， 同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等， 从而排除A，本题选择B选项. 例2.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值. 分析:题目中的条件是以向量为载体给出的,可以利用向量的坐标表示来转化. 解析:设椭圆方程为 则直线AB的方程为，代入，化简得 . 令A（），B），则 由与共线，得 又， 即，所以， 故离心率 （II）证明：（1）知，所以椭圆可化为 设，由已知得 在椭圆上， 即① 由（1）知 又，代入①得 故为定值，定值为1. 点评:运用向量与共线的充要条件转化成坐标形式再与解析几何题的的常规思路（直线与圆锥曲线方程联立消元得一元二次方程，运用韦达定理根与系数的关系得基本量方程）接轨。 规律总结: 把向量条件的几何形式转化成坐标形式再与解析几何题的常规思路接轨是解决本题的关键 现学现用2: 设p＞0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2＝2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。 解析:由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky＝x－2p 又设A（xA,yA）,B(xB,yB), 则其坐标满足 消去x，得y2－2pky 消去x，得y2－2pky－4p2＝0 y2＝2px 由此得 xA＋xB＝4p＋k (yA＋yB) ＝(4＋2k2)p ， xAxB＝＝4P2 因此·＝xAxB＋yAyB＝0，即OA⊥OB,故O必在圆H的圆周上。 又由题意圆心H（xH , yH）是AB的中点，故 由前已证，OH应是圆H的半径，且＝＝ 从而当k＝0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小。 此时，直线AB的方程为：x＝2p. 例3: 已知点P 是抛物线上一个动点，定点M（4,1），求的最小值. 分析:利用抛物线的参数方程找出点P横纵坐标的关系,带入两点间距离公式,转化为求函数最值. 解析：设点P的坐标为（x,y）,则 令t=，则 当x=2时，；当时，当时，。所以当x=2时t=的最小值为5，的最小值为. 规律总结: 圆锥曲线中求最值问题,得到的函数初等方法不易得到最值的;某些切线问题,用判别式比较复杂,可以用导数来处理; 可以将某些函数的图象看成圆锥曲线的部分图象,再借助导数几何意义来解决 现学现用3: 已知动圆过定点，且与直线相切，若AB是动圆圆心的轨迹C上的动弦，且过点,分别以为切点做轨迹C的切线，设两切线的交点为Q. 证明. 证明：设圆心C的坐标