求函数值域问题—7类题型16种方法（二）.pdfVIP

求函数值域问题—7 类题型 16 种方法（二） 8 （）函数单调性法： 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如， .当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性 解题。 1 例 ：求函数 的值域。 ∵ 解： 当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大， ∴函数 在定义域 上是增函数。 ∴ ， ∴函数 的值域为 。 2 例 ．求函数 在区间 上的值域。 分析与解答：任取 ，且 ，则 ， 因 为 ， 所 以 ： ， 当 时， ，则 ； 当 时， ，则 ；而当 时， 于是：函数 在区间 上的值域为 。 构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 3 例 ：求函数 的值域。 分析与解答：因为 ，而 与 在定义域内的单调性 不一致。现构造相关函数 ，易知 在定义域内单调增。 ， ， ， ， 又 ，所以： ， 。 9 基本不等式法 （） , 利用基本不等式求函数值域 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时 要求和为定值。 “ 利用基本不等式 ，用此法求函数值域时，要注意条件 一正，二定，三相 ”. ① ;② 等 如利用 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件 ③ . 为定值； 取等号成立的条件 三个条件缺一不可。此外，有时需要合理 , , 地添项和拆项和两边平方等技巧 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量比 如求函数 的值域。 例 1 求函数 的值域. : , . 解 当且仅当 时 成立 故函数的值域为 . , , 此法可