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解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏 17）（本小题满分 12 分） 如图，△ ACD 是等边三角形， △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ACB 90 ，BD 交 AC 于 E ， AB 2 ． D （Ⅰ）求 cos∠CAE 的值； C （Ⅱ）求 AE ． E 解 ：（ Ⅰ ） 因 为 ∠BCD 90 60 150 ， A B CB AC CD ， 所以 ∠CBE 15 ． 6 2 所以 cos∠CBE cos(45 30 ) ． ································································6·分 4 （Ⅱ）在△ABE 中， AB 2 ， AE 2 由正弦定理 ． sin(45 15 ) sin(90 15 ) 1 2 2sin 30 2 故 AE 6 2 ． 12 分 cos15 6 2 4 2. （江苏 17）（14 分） 某地有三家工厂， 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A 、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 km， BC=10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A 、B 与 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO 、BO 、OP ，设排污管道的总 长为 ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠ BAO= θ( rad) ，将 y 表示成 θ的函数关系式； ②设 OP=x(km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式； （2 ）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度 最短。 D P C 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 O 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 A AQ 10 B （1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB ，若∠ BAO= θ(rad) ，则 OA ， cos BAO cos 10 故 OB cos 10 10 又 OP 10 10tan ，所以 y OA OB OP 10 10tan