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海伦－秦九韶公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为 a 、b、 c ，三角形的面积 S 可由以下公式 求得： 而公式里的 p 为半周长（周长的一半）： 注 1 ：Metrica( 《度量论》）手抄本中用 s 作为半周长，所以 和 两种写法都是可以的，但多用 p 作为半周长。 cosC = (a^2+b^2-c^2 ）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab* √（1-cos^2 C) =1/2*ab* √[1-(a^2+b^2-c^2 ）^2/4a^2*b^2] =1/4* √[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2 ）^2] =1/4* √[（2ab+a^2+b^2-c^2 ）（ 2ab-a^2-b^2+c^2 ）] =1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4* √[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设 p=(a+b+c)/2 则 p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式 = √[(a+b+c)(a+b -c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形 ABC 面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R 在同一个三角形中是恒量， R 是此三角形 外接圆 的半 径）。 变形公式 （1 ）a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC （2 ）sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c （3 ）asinB=bsinA ，asinC=csinA ，bsinC=csinB （4 ）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R （5 ）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC 余弦定理 a^2=b^2+c 2-2bcco s A b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦 - 秦九韶公式 p=(a+b+c)/2 （公式里的 p 为半周长） 假设有一个三角形，边长分别为 a 、b 、c ，三角形的面积 S 可由以下公式求得： S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一：已知三条中线 Ma,Mb,Mc ， 则 S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc -Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ； 方法二：已知三边 a ，b ，c ； 则 S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)] ；其中： p=(a+b+c)/2 ； b^2+c^2=a cosA A= 直 ^2 =0 9 角 0° b^2+c^2a cosA A 钝 ^2 0 9 角 0° b^2+c^2a cos A 锐 ※a 边必须是最 ^2 A0 9 角 大边 0° 3 解三角形 编辑 正弦定理 已知条件：一边和两角（如 a 、B 、C, 或 a 、A 、B ） 一般解法：由 A+B+C=