高考数学母题：柯西不等式在高考客观题中.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 柯西不等式在高考客观题中 柯西不等式的应用技巧 柯西不等式虽然是高中数学的选学内容,但却是课标高考的选考部分.高考客观题中的柯西不等式主要考查二、三维柯西不等式. [母题结构]:(Ⅰ)(二维柯西不等式)若a,b,x,y∈R,则(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2; (Ⅱ)(三维柯西不等式)若a,b,c,x,y,z∈R,则(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2. [母题解析]:(Ⅰ)由(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(ax+by)2+(ay-bx)2≥(ax+by)2;(Ⅱ)由(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=a2x2+ b2y2+c2z2+(a2y2+b2x2)+(b2z2+c2y2)+(c2x2+a2z2)≥a2x2+b2y2+c2z2+2abxy+2bcyz+2cazx=(ax+by+cz)2. 1.二维柯西不等式的应用 子题类型Ⅰ:(2009年华南理工保送生考试数学试题)已知a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值为( ) (A)-2 (B)- (C)-3 (D)- [解析]:由柯西不等式:(1+)(a2+2b2)≥(a+b)2(a+b)2≤9a+b≥-3,等号当且仅当a=-2,b=-1时成立.故选(C). [点评]:利用二维柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,解决相关问题的关键是根据已知式和待求式,选取系数x,y. 2.二维柯西不等式的作用 子题类型Ⅱ:(2015年重庆高考试题)设a,b0,a+b=5,则+的最大值为 . [解析]:由柯西不等式: (+)2≤(12+12)[()2+()2]=18+的最大值为3. [点评]:利用二维柯西不等式不仅可求二元式的最小值,还可求最大值,其中的关键是把待求式置于不等式的哪一边. 3.三维柯西不等式的运用 子题类型Ⅲ:(2013年湖南高考试题)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 . [解析]:由柯西不等式:(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2=36a2+4b2+9c2≥12. [点评]:若求最小值,则把待求式置于不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2的右边,否则置于不等式的左边,然后,选取系数x,y,z,使得另一边为定值. 4.子题系列: 1.(2006年陕西高考试题)设x,y为正数,则(x+y)()的最小值为( ) (A)15 (B)12 (C)9 (D)6 2.(2011年湖南高考试题)设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为 . 3.(2014年陕西高考试题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 . 4.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为 . 5.(1983年全国高中数学联赛试题)设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,那么( ) (A)P≥Q (B)P≤Q (C)PQ (D)P、Q的大小关系不确定,而与m,n的大小有关 6.(2003年上海交通大学保送生考试试题)已知x、y∈R+,x+2y=1,则+的最小值为 . 7.(2014年浙江高考试题)已知实数a、b、c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值为为 . 8.(2014年山东高考试题)已知x,y满足的约束条件,当目标函数x=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取得最小值2时,a2+b2的最小值为( ) (A)5 (B)4 (C) (D)2 9.(2014年重庆高考试题)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值为( ) (A)6+2 (B)7+2 (C)6+4 (D)7+4 10.(2012年浙江高考试题)若正数x,y满