高考数学母题：空间轨迹.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-61):空间轨迹(479) 1223 空间轨迹 [母题]Ⅰ(17-61):(2004年天津高考试题)如图,定点A和B都在平面α内,定点 Pα,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,那么动点C在平面内α的轨迹是( ) (A)一条线段,但要去掉两个点 (B)一个圆,但要去掉两个点 (C)一个椭圆,但要去掉两个点 (D)一个半圆,但要去掉两个点 [解析]:由PB⊥αPB⊥AC,又由PC⊥ACAC⊥平面PBCPC⊥BC点C在以AB为直径的圆上.故选(B). [点评]:空间轨迹问题的一般形式:空间内满足条件S的动点P在确定的平面α内运动,求动点P的轨迹;解决该类问题的基本方法有:⑴转化法:即把空间条件S转化为平面α内条件T,然后根据轨迹定义判断轨迹类型;⑵交轨法:即首先求出某一条件的空间轨迹,再求出另一条件的空间轨迹(如在某一平面内),最后分析两轨迹的交线.下述基本轨迹是解决空间轨迹问题的“利器”:①设A为定点,l为定直线,则满足AP⊥l的动点P的轨迹是过A且垂直于l的平面(除去点A);②设A为定平面α外的一定点,则满足AP∥α的动点P的轨迹是过A且平行于α的平面(除去点A);③设A为定点,l为定直线,则:(i)当A∈l时,满足直线AP与直线l的夹角为定值θ的动点P的轨迹是以直线l为轴,A为顶点,轴截面的顶角为2θ的对顶圆锥面(除去点A);(ii)当Al时,满足直线AP与直线l的夹角为定值θ的动点P的轨迹是以过A且平行于直线l的直线a为轴,A为顶点,轴截面的顶角为2θ的对顶圆锥面(除去点A);④设A为定平面α外的一定点,则满足直线AP与平面α的夹角为定值θ的动点P的轨迹是以过A且垂直于平面α的直线l为轴,A为顶点,轴截面的顶角为π-2θ的对顶圆锥面(除去点A);⑤设l为定直线,则满足P到直线l的距离为定值r的动点P的轨迹是以直线l为轴,r为半径的圆柱面;⑥设A、B为定点,则满足PA⊥PB的动点P的轨迹是以AB为直径的球面.利用⑥,给出本题的另解(交轨法):由PC⊥AC动点P的轨迹是以PA为直径的球面,该球面被平面α所截得截面为圆.故选(B). [子题](1):(2004年北京高考试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线 BC与C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在曲线是( ) (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线 [解析]:因点P到直线C1D1的距离=P与C1的距离P与C1的距离与P到直线BC的距离.故选(D). 注:空间内满足条件S的动点P在确定的平面α内运动,求动点P的轨迹的关键是把条件S转化为动点P在平面α内的条件T,然后,由条件T判断轨迹的类型. [子题](2):(2004年重庆高考试题)若三棱锥A-BCD 的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距 离相等,则动点P的轨迹与ΔABC组成图形可能是( ) [解析]:设二面角A-BC-D大小为β,作PH⊥平面BCD,H为垂足,PF⊥BC于F,PE⊥AB于E,则∠PFH=β, 由已知PE=PH=PFsinβ动点P的轨迹是直线;又由PE=PFsinβPF.故选(D). 注:平面内到一个角的两边的距离的比为定值的点的轨迹是过角的顶点的一条射线. [子题](3):(2008年浙江高考试题)如图,AB是平面α的斜线段,A为斜足,若点P在平面α内运动.使得△PAB的面积为定值.则动点P的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)一条直线 (D)两条直线 [解析]:因△PAB的面积为定值点P到直线AB的距离为定值点P在空间中的轨迹是以为 AB轴线的圆柱;在α平面内,点P的轨迹是圆柱与平面α的交线,为椭圆.故选(B). 注:平面α截一圆柱,所得截线:①当平面α⊥圆柱的轴线时,截线为圆;②当平面α与圆柱的轴线成锐角θ时,截线为 椭圆,且离心率e=cosθ. [子题系列]: 1.(2006年北京高考试题)平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是 ( )