高考数学母题：构圆解题.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(12-07):构圆解题(267) 681 构圆解题 [母题]Ⅰ(12-07):设向量a,b,c满足:|a|=a,|b|=b,a,b=θ,a-c,b-c=π-θ,则|c|的最大值是 . [解析]:设=a,=b,=c,则由a,b=θ,a-c,b-c=π-θ∠AOB=θ,∠ACB=π-θ O、A、C、B四点共圆,设为圆M,如图,则|c|的最大值是2r,其中,r是圆M的半径;在△OAB 中,AB2=a2+b2-2abcosθ,2r=2r=|c|的最大值是. [点评]:在本题中,由几何直观还可知,|c|max{|a|,|b|},因此可得|c|的取值范围;本题构图的依据是:对角互补的四边形是圆内接四边形;结论的等价性是圆中弦的最大值是圆的直径;本题成为母题有两个事实:①它已生成(并将继续生成)一系列高考试题;②它所体现的构圆解决向量问题的方法有广泛的应用空间,构圆解题把向量“形”的特性运用到了极致. [子题](1):(2008年浙江高考试题)(理)己知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值是( ) (A)1 (B)2 (C) (D) [解析]:设=a,=b,=c,则∠AOB=,由(a-c)(b-c)=0∠ACB=O、A、C、B四 点共圆,设为圆M|c|的最大值是2r,其中,r是圆M的半径=|c|的最大值是.故选(C). 注:本题利用a⊥b和(a-c)(b-c)=0,即∠AOB=∠ACB=来隐含O、A、C、B四点共圆,并巧妙设置|c|的最大值=|a-b|. [子题](2):(2011年全国高考试题)(大纲卷)(理)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=-,a-c,b-c=600,则|c|的最大值等于 (A)2 (B) (C) (D)1 [解析]:设=a,=b,=c,由ab=-a,b=1200∠AOB=1200;又由a-c,b-c=600∠ACB=600O、A、C、B四点共圆,设为圆M|c|的最大值是2r,其中,r是圆M的半径,2r==2|c|的最大值是2.故选(A). 注:本题利用ab=-,a-c,b-c=600,即∠AOB=1200,∠ACB=600来隐含O、A、C、B四点共圆,高考命题专家利用圆来命制该题的痕迹明显. [子题](3):(2011年辽宁高考试题)(理)若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( ) (A)-1 (B)1 (C) (D)2 [解析]:设=a,=b,=c,由ab=0∠AOB=,由(a-c)(b-c)≤0∠ACB≥点C在△OAB的外接圆M内;又 由||=1点C在以O为圆心,半径为1圆上;设=+,则|a+b-c|=|-|≤AD=1.故选(B). 注:本题是母题生成的一个绝佳试题,实质上还可得到:|a+b-c|≥-1;由圆命题可进行如下两个方向的拓展:①把待求向量的终点限定在不在圆外或不在圆内;②改变扩充共圆条件,如模相等的向量等. 682 [母题]Ⅰ(12-07):构圆解题(267) [子题系列]: 1.(2008年浙江高考试题)(文)己知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a-b)=0,则|b|的取值范围是 . 2.(2010年浙江高考试题)已知平面向量α,β,(α≠0,α≠β),满足|β|=1,且α与β-α的夹角为1200,则|α|的取值范围是 . 3.(2009年全国Ⅰ高考试题)设a,b,c是单位向量,且ab=0,则(a-c)(b-c)的最小值为( ) (A)-2 (B)-2 (C)-1