高考数学母题：空间背景的古典概型.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 733 [中国高考数学母题](第193号) 空间背景的古典概型 以立体几何中的计数问题为背景的古典概型形式多样,解答该类问题不仅涉及两个计数原理、排列组合知识和概率含义等,还涉及立体几何的有关内容.该类问题将方法与知识有机地融为一体. [母题结构]:(Ⅰ)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是:①正三角形的概率P=;②直角三角形的概率P=;③等腰直角三角形的概率P=;④直角非等腰三角形的概率P=; (Ⅱ)正方体的六个面的中心点,则:㈠甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个,则构成两个三角形全等的概率P= ;㈡甲乙分别相互独立地从这6个点中取出2个点连成直线,则这两条直线:①平行但不重合的概率P=;②相交但不重合的概率P=;③异面的概率P=;④垂直的概率P=. (Ⅲ)㈠在正方体的八个顶点中任取四个顶点,则以这四个顶点的四面体是:①正四面体的概率P=;②直角四面体(一个顶点上的三条棱两两垂直)的概率P=;③P型四面体(一个顶点上的三面为直角三角形,对面为正三角形)的概率P= ;④Z型四面体(四个面均为直角三角形)的概率P=;㈡从正方体的8个顶点中的任意两个所确定的所有直线中取出两条,则这两条直线是:①平行的概率P=;②相交的概率P=;③异面的概率P=. [母题解析]:略. 1.正方体模型 子题类型Ⅰ:(2007年安徽高考试题)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 . [解析]:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,任意取两条棱共有C122=66种可能,位置类型有:①相交:每个顶点 上的三条棱,任取二个,有C32对8个顶点,有8C32=24对;②平行:对任意一条棱,与它平行的有3条 12条棱,平行的有3×12÷2=18对;③异面:对任意一条棱,与它异面的有4条12条棱,异面的有4× 12÷2=24对.两条棱相互平行的概率P==. [点评]:以立体几何中的计数问题为背景的古典概型是高考的热点之一,曾为安徽高考的特色试题;母题中给出了问题的基本类型和结果. [同类试题]: 1.(2006年安徽高考试题)(理)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2009年安徽高考试题)(文)考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于( ) (A)1 (B) (C) (D)0 2.问题的类型 734 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 子题类型Ⅱ:(2005年湖北高考试题)以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率P为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,有C83=56;从中随机取出 两个三角形,有C562=1540;平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有6个面,6个体的对角面(每对平行的棱 确定一个面),每个面上的四个三角形中任取两个均共面P=1-=.故选(A). [点评]:主要的问题类型有:①满足某条件的几何元素(如点、线、面、三角形、四面体)的概率计数;②足某条件的几何元素的组合(如三点共线组、四点共面组、异面直线对、平行线对)的概率计数. [同类试题]: 3.(1991年全国高考试题变式)如果把两条异面直线看成“一对”,那么在n棱锥的棱所在的2n条直线中任取两条,则这两条直线成异面对的概率是 . 4.(2006年湖南高考试题变式)过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,在这些中任取一条,则该直线与平面ABB1A1平行的概率是 . 3.思想与方法 子题类型Ⅲ:(1997年全国高考试题)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个点,则该4个点不共面的概率是 . [解析]:从10个点中取4个点的取法为C104