高考数学母题：构三角形.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(13-19):构三角形(314) 781 构三角形 [母题]Ⅰ(13-19):(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=. [解析]:由3sin2α-2sin2β=0,联想作△ABC,使BC=2,AC=3,∠A=2α,∠B=2β; 由2sin2α+2sin2β=13cos2α+2cos2β=3,由射影定理知,AB=3AB=AC2α+4β=πα+2β=. [点评]:构造三角形解决问题表现在两个方面:一是在多边形问题中,构造三角形解决问题;二是通过构造三角形,把代数问题几何化;构造三角形的关键是把已知条件与正、余弦定理、射影定理、相似三角形条件比较,从而进行结构联想. [子题](1):(1995年全国高考试题)求sin2200+cos2500+sin200cos500的值. [解析]:在△ABC中,a2+b2-2abcosC=c2sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A=200,B=400,则C=1200sin2200+sin2400- 2sin200sin400cos1200=sin21200sin2200+sin2400+sin200sin400=sin2200+cos2500+sin200cos500=. 注:在△ABC中,sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C,由此可解决一类三角求值问题. [子题](2):(2006年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的( ) (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件 [解析]:延长CD至点D,使得AD=AB,则a2=b(b+c)CB2=CACDΔABC∽ΔBDC∠ABC=∠BDCA=2B.故选(A). 注:构造特殊条件构造三角形:①由a2=bx可构造与△ABC相似的三角形;②由△ABC可构造内角为A-B的三角形. [子题](3):(1986年河南高中教学竞赛题)已知x,y,z为正数,且满足方程组, 试求xy+yz+zx的值. [解析]:构造Rt△ABC,使∠C=900,AC=1,BC=3,则AB=2;在Rt△ABC内取点D,使∠ADC=∠BDC=∠CDA=1200,则AD=x,CD=y, BD=z,如图,由S△ADC+S△CDB+S△BDA=S△ABCxysin1200+yzsin1200+zxsin1200=xy+yz+zx=2. 注:根据余弦定理的结构特点,利用余弦定理进行几何代换,构造三角形,从而把代数问题转化为三角形问题,使比较隐蔽的关系直观化,实现难题巧解. [子题系列]: 1.(2010年上海高考试题)某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是、、,则此人将( ) (A)不能作出满足要求的三角形 (B)作出一个锐角三角形 (C)作出一个直角三角形 (D)作出一个钝角三角形 2.(1991年全国高中数学联赛试题)cos2100+cos2500-sin400sin800= . 3.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=,则△ABC的面积为_____. 4.(2013年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,bc=b2-a2,且B-A=800,则内角C等于 (用度数作答). 5.(第十五届全俄数学奥林匹克试题)己知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1. 8 第2讲:分离函数法证明函数不等式 6.(第二十一届全苏数学奥林匹克试题)己知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B+c+C=k.求证:aB+bC+cAk2. 7.(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)设正数x、y、z满足方程组,求xy+2yz+3zx的值. 8.(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x、y、z满足:x=+,